В данном пункте учебника дано определение функции y = tg x, сформулированы и обоснованы ее свойства, строится ее график. Главным периодом функции y = tg x является число T = π. Этот факт будет доказан в п. 10.4. При правильном построении графика прямая y = x должна оказаться касательной к графику функции y = tg x в точке O (0; 0). Этот факт можно сообщить учащимся для самоконтроля. Он будет доказан в 11 классе с помощью вычисления производной функции y = tg x в точке x=0 .
Решения и комментарии
10.24. Сравните: а) tg π 7 и tg π 8 ; г) tg 11π 10 и tg 13π 10 . Решение. а) Числа π 7 и π 8 принадлежат промежутку ( − π 2 ; π 2 ) , на котором функция y=tg x возрастает, π 7 > π 8 , следовательно, tg π 7 >tg π 8 . г) Числа 11π 10 и 13π 10 принадлежат промежутку ( π 2 ; 3π 2 ) , на котором функция y=tg x возрастает, 11π 10 < 13π 10 , следовательно, tg 11π 10 <tg 13π 10 . 10.25. Постройте график функции: a) y=| tg x | ; б) y=tg | x | ; в) y=tg ( π−x ) ; г) y=tg x−1 ; д) y=| tg x−1 | ; е) y=tg xcos x . Решение. а) Чтобы построить график функции y=| tg x | , нужно сохранить точки графика функции y=tg x , расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки графика функции у = tg x, расположенные ниже оси Ох (рис. 50).
б) Чтобы построить график функции tg | x | , нужно сохранить точки графика функции y=tg x , расположенные правее и на оси Оу, и, симметрично отразив эту часть графика функции y=tg x относительно оси Оу, получить вторую часть искомого графика функции (рис. 51). в) Так как y=tg ( π−x )=tg ( −x )=−tg x , то график функции y=tg ( π−x ) получится из графика функции y=tg x с помощью симметрии относительно оси Ох. г) График функции y=tg x−1 получится из графика функции y=tg x с помощью переноса на 1 единицу вниз (рис. 52).
д) Чтобы построить график функции y=| tg x−1 | , нужно перенести график функции y=tg x на 1 единицу вниз, затем сохранить точки полученного графика, расположенные выше и на оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох точки графика, расположенные ниже оси Ох (рис. 53). е) Так как функция y=tg x cos x определена для всех х, кроме x= π 2 +πn, n∈ Z, и для всех таких x верно равенство tg x cos x=sin x , то график функции y=tg x cos x есть график функции y=sin x без точек, соответствующих числам x= π 2 +πn, n∈ Z (рис. 54). Они изображены на графике «выколотыми» точками.
