В пункте 3.7 изучаются свойства функции y= x n только для x≥0 , а в пункте 3.8 — для любых х. Отметим особенность доказательства непрерывности функции y= x n ( x≥0 ) . Так как графики функций y= x n ( x≥0, y≥0 ) и х = уn ( x≥0, y≥0 ) совпадают, то непрерывность функции y= x n ( x≥0 ) следует из уже доказанной ранее непрерывности функции x= y n ( y≥0 ) , т. е. доказательство непрерывности функции y= x n , по сути дела, опирается на непрерывность обратной функции x = уп, но так как понятие обратной функции еще не вводилось (это материал 11 класса), то в учебнике такая терминология не используется.
Решения и комментарии
3.85. Известно, что: а) a 3 >1 ; б) a 3 <1 .
Верно ли, что а > 1; а > 0?
Решение. а) Так как a 3 >1 , т. е. a 3 > 1 3 , то из возрастания функции y= x 3 следует, что а > 1, а так как 1 > 0, то справедливы оба неравенства: а > 1 и а > 0.
б) Так как a 3 <1 , т. е. a 3 < 1 3 , то из возрастания функции y= x 3 следует, что а < 1, т. е. неравенство а > 1 неверно. Из неравенства a 3 <1 не следует, что а > 0, хотя в данном пункте мы рассматриваем функцию y= x 3 только для x≥0 . Например, для а = −1 неравенство a 3 <1 верно, а неравенство а > 0 неверно. Следовательно, неравенство а > 0 неверно.
Замечание. Покажем, как можно доказать, что из неравенства a 3 >1 и возрастания функции y= x 3 следует, что а > 1.
По определению возрастающей функции из справедливости неравенства а > 1 следует, что a 3 >1 , а нам надо доказать обратное: что из справедливости неравенства a 3 >1 следует, что а > 1. Докажем это методом от противного.
Пусть a 3 >1 . Предположим, что а < 1, тогда из возрастания функции y= x 3 и из справедливости неравенства а < 1 следует, что a 3 <1 , а это противоречит условию a 3 >1 . Значит, предположение, что а < 1, неверно.
Пусть a 3 >1 . Предположим, что а = 1, тогда a 3 =1 , а это противоречит условию a 3 >1 . Значит, предположение, что а = 1, неверно.
Для чисел а и 1 выполняется, и притом только одно из соотношений а > 1, а < 1 и а = 1 (свойство порядка действительных чисел, см. п. 1.2), поэтому если неверно, что а < 1 и а = 1, то а > 1, что и требовалось доказать.
Приведенные здесь рассуждения учащиеся не должны воспроизводить в обязательном порядке. Но будет полезно для них узнать о применении рассуждения от противного в непривычной ситуации, когда возможны не два взаимно исключающие друг друга случая (параллельны и не параллельны и др.), а три случая (а > 1, а < 1 и а = 1).
3.93. Постройте график функции:
а) y= x 3 ; б) y= −x 3 ; в) y= | x | 3 ;
г) y= x 3 −2 ; д) y= x−2 3 ; е) y= 2−x 3 ;
ж) y=| x 3 −2 | ; з) y= 2−| x | 3 ; и) y=| 2−| x | 3 −1 | .
Здесь на конкретных примерах повторяются известные преобразования графиков: переносы, использование модулей. Графики функций изображены на рисунке 20, а—и.
Промежуточный контроль. С—17.
Контрольная работа № 2.
|
