В данном пункте приводится теорема 1, позволяющая по коэффициентам аn и а0 многочлена Рп (х) n-й степени с целыми коэффициентами найти все рациональные корни многочлена Рn (х) (если они существуют). Следствие из этой теоремы (для ап = 1) позволяет найти все целые корни многочлена Рn (х) (если они существуют).
Решения и комментарии
2.41. а) Разложите многочлен Р (х) = 2х3 − х2 − 8х + 4 на линейные множители, если это возможно.
Решение. Для разложения многочлена Р (х) на линейные множители найдем все рациональные корни этого многочлена (если они существуют).
Здесь a3 = 2, а0 = 4, поэтому, если многочлен Р (х) имеет рациональный корень p q ( p∈ Z, q∈ N), то по теореме 1 число 4 делится на р, а число 2 делится на q.
Число p может быть равно одному из чисел: 1, −1, 2, −2, 4, −4;
число q может быть равно одному из чисел: 1, 2;
корень p q может быть равен одному из чисел: 1, −1, 2, −2, 4, −4, 1 2 , − 1 2 .
Выясним, какое из этих чисел является корнем многочлена Р (х):
P (1) = 2 · 13 − 12 − 8 · 1 + 4 = −3 ≠ 0,
Р (−1) = 2 · (−1)3 − (−1)2 − 8 · (−1) + 4 = 9 ≠ 0,
Р (2) = 2 · 23 − 22 − 8 · 2 + 4 = 0.
Найден первый корень многочлена Р (x) — число 2.
Разложив многочлен Р (x) на множители, получим
Р (x) = 2x3 − x2 − 8x + 4 = (х − 2)(2х2 + 3х − 2).
Решив уравнение 2х2 + 3х − 2 = 0, найдем его корни х1 = −2, x 2 = 1 2 , они и будут корнями многочлена 2х2 + 3х − 2.
Следовательно, 2х2 + 3х − 2 = 2(х + 2) ( x− 1 2 ) = (x + 2)(2x − 1).
Поэтому P (x) = 2x3 − x2 − 8x + 4 = (x − 2)(x + 2)(2x − 1).
2.43. а) Найдите все корни многочлена, если многочлен Р (x) = x3 − 5х2 + ах + b делится на х − 3 без остатка, а при делении на х + 3 дает остаток −42.
Решение. По теореме Безу Р (3) = 0, а Р3 (−3) = −42, поэтому верны равенства
33 − 5 · 32 + 3a + b = 0, (1)
(−3)3 − 5 · (−3)2 − 3а + b = −42. (2)
Решив систему уравнений (1) и (2) относительно а и b, получим а = −2, b = 24. Так как х1 = 3 — корень многочлена Р (х), то многочлен Р (x) разлагается на множители:
Р (x) = x3 − 5x2 − 2х + 24 = (х − 3)(x2 − 2х − 8).
Так как −2 и 4 — корни многочлена x2 − 2х − 8, то 3, −2 и 4 — все корни многочлена Р (х).
Промежуточный контроль. С—11.
| 