В данном пункте имеется утверждение: «Арифметический корень степени n(n ≥ 2) из натурального числа может быть или натуральным числом, или иррациональным числом». В учебнике сказано, что доказательство этого утверждения при любом n ≥ 2 аналогично доказательству для п = 2.
Приведем доказательство иррациональности числа 2 3 (задание 3.102а).
Предположим, что число 2 3 — рациональное, т. е. предположим, что существует несократимая дробь p q , такая, что справедливо равенство 2 3 = p q , где p∈ N, q∈ N. Тогда справедливо равенство
2q3 = p3. (1)
Так как левая часть равенства (1) делится на 2, то и правая часть равенства, т. е. p3, делится на 2.
Число р при делении на 2 может иметь два остатка: 1 или 0.
В первом случае р = 2n + 1, где n = 0, 1, 2, ..., тогда равенство 2q3 = 8n3 + 12n2 + 6n + 1 не выполняется ни при каком натуральном q, так как левая его часть делится на 2, а правая — нет. Значит, число р при делении на 2 не может иметь остаток 1.
Во втором случае р = 2п, где n∈ N, тогда 4n3 = q3. Аналогично показывается, что число q при делении на 2 не может иметь остаток 1, и оно делится на 2.
Следовательно, каждое из чисел р и q делится на 2. Получилось противоречие с предположением, что число 2 3 = p q , где дробь p q несократимая. Следовательно, предположение неверно, а верно утверждение, что число 2 3 — иррациональное.
Заметим, что доказательство иррациональности числа 29 3 тем же способом окажется громоздким, так как потребуется рассмотреть не 2 случая, как в предыдущем задании, а 29. Поэтому приведем другой способ доказательства иррациональности корней степени п из натуральных чисел, не являющихся n-й степенью натурального числа.
Теорема. Если натуральное число m не является n-й степенью ( n∈ N, n≥2 ) какого-либо натурального числа, то m n — иррациональное число.
Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что m n — число рациональное. Это означает, что существует несократимая дробь p q ( p∈ N, q∈ N), такая, что m n = p q . Но тогда справедливо равенство
q n m= p n . (2)
Левая часть равенства (2) делится на q, поэтому и правая часть делится на q, т. е. число рn делится на q.
Если р = 1, то рn = 1 и рn делится на q, только если q = 1, но тогда из равенства (2) следует, что m = 1, что противоречит условию теоремы.
Если р > 1, то по основной теореме арифметики число р разлагается на простые множители:
p= p 1 α 1 p 2 α 2 ... p k α k , (3)
где p1, p2, ..., pk — различные простые числа, α1, α2, ..., αk — натуральные числа.
Если число q имеет делитель d и d — простое число, то так как дробь p q несократимая, то среди чисел р1, р2, ..., pk нет числа d. Из равенства (3) следует равенство
p n = p 1 n α 1 p 2 n α 2 ... p k n α k . (4)
По основной теореме арифметики разложение каждого натурального числа на простые множители единственно. Поэтому правая часть равенства (4) есть (единственное) разложение числа рn на простые множители. Так как среди чисел р1, р2, ..., pk нет числа d, то рn не делится на d, а значит, не делится и на q, имеющие простой делитель d.
Отсюда следует, что так как pn делится на q, то число q может быть только равно 1. Тогда из равенства (2) следует, что т = рn, а это противоречит условию, что m не является n-й степенью какого-либо натурального числа.
Полученное противоречие означает, что сделанное предположение неверно, т. е. m n — иррациональное число. |
