В пункте вводится логарифмическая функция y= log a x , где a>0, a≠1, x>0 , рассматриваются свойства этой функции и ее график. Отметим особенность доказательства непрерывности функции y= log a x . Так как графики функций y= log a x ( x>0 ) и x= a y совпадают, то непрерывность функции y= log a x следует из уже отмеченной ранее непрерывности функции x= a y , т. е. доказательство непрерывности функции y= log a x , по сути дела, опирается на непрерывность обратной функции x= a y , но так как понятие обратной функции еще не вводилось (это материал 11 класса), то в учебнике такая терминология не используется.
Свойства логарифмической функции будут использоваться в дальнейшем для решения логарифмических уравнений и неравенств.
Решения и комментарии
5.33. Используя свойства логарифмической функции, сравните: a) log 2 3 и log 2 5 ; в) log 1 2 3 и log 1 2 5 .
Решение. а) Так как функция y= log 2 x возрастает на промежутке ( 0; +∞ ) , то из неравенства 3<5 следует неравенство log 2 3< log 2 5 .
в) Так как функция y= log 1 2 x убывает на промежутке ( 0; +∞ ) , то из неравенства 3<5 следует неравенство log 1 2 3> log 1 2 5 .
Дополнительное задание. Сравните числа:
а) log 2 3 и log 3 5 ; б) log 3 4 и log 4 5 .
Решение. а) Умножим данные числа на 2:
2 log 2 3= log 2 9, 2 log 3 5= log 3 25
и напишем очевидные неравенства, следующие из возрастания функций y= log 2 x и y= log 3 x на промежутке ( 0; +∞ ) :
3= log 2 8< log 2 9< log 2 16=4; 2= log 3 9< log 3 25< log 3 27=3.
Так как log 2 9>3 , а 3> log 3 25 , то log 2 9> log 3 25 , но тогда log 2 3> log 3 5 .
б) Умножим данные числа на 4:
4 log 3 4= log 3 256 и 4 log 4 5= log 4 625
и напишем очевидные неравенства, следующие из возрастания функций y= log 3 x и y= log 4 x :
5= log 3 243< log 3 256< log 3 729=6; 4= log 4 256< log 4 625< log 4 1024=5.
Так как log 3 256>5 , a 5> log 4 625 , то log 3 256> log 4 625 , но тогда log 3 4> log 4 5 . | 