В пункте введено понятие математического ожидания случайной величины х. Это число, обозначаемое M( x ) , равно сумме произведений значений случайной величины на вероятности этих значений, т. е. M( x )= ∑ i=1 m x i p i .
Далее разъясняется, что математическое ожидание называют еще средним значением случайной величины или ее значением «в среднем». Приведены примеры задач, для решения которых используется понятие математического ожидания случайной величины.
Решения и комментарии
14.1. Рулетка имеет 38 номеров, выпадание каждого из которых единственно возможно и равновозможно. Если выпадет номер, на который поставил игрок, то он получает свою ставку обратно плюс ту же сумму в 35-кратном размере, если нет, то теряет свою ставку. Определите, сколько «в среднем» получает каждый игрок в одной игре при ставке в 19 рублей.
Решение. Вероятность выигрыша в рулетку равна 1 38 , а проигрыша 37 38 . Будем считать, что игрок получит х р., где х — случайная величина, принимающая значения x 1 =19⋅36 и x 2 =−19 соответственно с вероятностями 1 38 и 37 38 . Тогда математическое ожидание выигрыша равно M= 1 38 ⋅36⋅19+ 37 38 ⋅( −19 )=− 1 2 p. Следовательно, каждый игрок получит «в среднем» − 1 2 р., т. е. проиграет 0,5 рубля.
Будем называть игру справедливой, если «в среднем» будет одинаковым число очков или денег, получаемых каждым игроком. Определите, является ли справедливой игра, описанная в задачах (14.3—14.5).
14.3. Подбрасываются две монеты. Игрок А получает 3 очка, если выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает 2 очка, если выпадает герб и решка, 0 очков в других случаях.
Решение. Выпишем все исходы, получаемые при броске двух монет: ОО, ОР, РО, PP. Вероятность выигрыша игрока А равна P( A )= 1 4 , а игрока В равна P( B )= 1 2 . Математическое ожидание выигрыша для игрока А равно M A =3⋅ 1 4 = 3 4 , а для игрока B — M B =2⋅ 1 2 =1 . M A < M B — игра несправедливая.
14.5. Подбрасываются две игральные кости. Игрок А получает 6 очков, если выпадает сумма, не большая 7 очков, 0 очков в других случаях. Игрок В получает 7 очков, если выпадает сумма, бóльшая 7 очков, 0 очков в других случаях.
Решение. Исход броска двух кубиков будем обозначать двузначными числами от 11 до 66, в записи которых первая цифра обозначает число очков, выпавшее на первом кубике, вторая — на втором.
Как нетрудно подсчитать, выигрышу игрока А благоприятствует 21 случай из 36: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 51, 52, 61.
Выигрышу игрока В благоприятствует 15 случаев из 36: 26, 35, 36, 44, 45, 46, 53, 54, 55, 56, 62, 63, 64, 65, 66.
Вероятность выигрыша игрока А равна P( A )= 21 36 = 7 12 , а игрока В равна P( B )= 15 36 = 5 12 . Математическое ожидание выигрыша для игрока А равно M A =6⋅ 7 12 +0⋅ 5 12 = 42 12 , а для игрока B — M B =7⋅ 5 12 +0⋅ 7 12 = 35 12 .
Так как M A > M B , то игра несправедливая.
14.7. Подбрасываются две монеты. Игрок А получает а очков, если выпадает два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает b очков, если выпадает герб и решка, 0 очков в других случаях. Найдите отношение а : b, при котором эта игра станет справедливой.
Решение. Вероятности выигрыша игроков А и В равны соответственно P( A )= 1 4 и P( B )= 1 2 . Математическое ожидание выигрыша для игрока А равно M A =a⋅ 1 4 +0⋅ 3 4 , а для игрока В — M B =b⋅ 1 2 +0⋅ 1 2 . Чтобы игра стала справедливой, должно выполняться равенство M A = M B . Это возможно только в случае a:b=2:1 .
14.8. Задача Луки Пачоли (1494 г.). Двое игроков играют до трех выигрышей. После того как первый игрок выиграл две партии, а второй — одну, игра прервалась. Спрашивается, как справедливо разделить ставку 210 ливров (ливр — серебряная монета).
Решение. В задачах на дележ ставки считается, что вероятность выигрыша в каждой партии для каждого игрока равна 0,5. Так как в худшем для первого игрока случае игра закончится после двух партий, то рассмотрим, какие случаи могли бы произойти, если бы игроки сыграли две партии (независимо от первоначальной договоренности):
1) первый игрок выиграет обе партии; 2) первый игрок выиграет первую партию и проиграет вторую; 3) первый игрок проиграет первую партию и выиграет вторую; 4) первый игрок проиграет обе партии.
По первоначальному соглашению всю игру выиграет первый игрок в трех случаях из четырех, второй — лишь в одном. Следовательно, вероятность выигрыша первого игрока равна P 1 = 3 4 , вероятность выигрыша второго игрока — P 2 = 1 2 ⋅ 1 2 = 1 4 .
Из ставки С (210 ливров) игрок А получил бы x A ливров, где x A — случайная величина, которая принимает значение С с вероятностью 3 4 и значение 0 с вероятностью 1 4 , а игрок В получил бы x B ливров, где x B — случайная величина, которая принимает значение С с вероятностью 1 4 и значение 0 с вероятностью 3 4 .
Найдем математическое ожидание величин x A и x B , т. е. найдем, сколько «в среднем» получил бы каждый игрок:
M( x A )=C⋅ 3 4 +0⋅ 1 4 = 3 4 C ; M( x B )=C⋅ 1 4 +0⋅ 3 4 = 1 4 C .
Следовательно, «в среднем» игроки разделили бы ставку в отношении 3 : 1, поэтому ставку 210 ливров надо разделить в отношении M( x A ):M( x B )=3:1 . Первый игрок должен получить 157,5 ливров, второй — 52,5.
14.9. Задача Пьера Ферма (1654 г.). Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В — трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?
Решение. Для выигрыша всей встречи игроку А осталось выиграть две партии, а игроку В — три. Для окончания игры достаточно провести 4 партии, так как в худшем для A случае он выиграет одну, а В — две партии и для выявления победителя потребуется еще одна партия. Для перебора всех возможных случаев составим таблицу выигрышей, где выигрыши партий игроками А и В обозначены соответственно буквами а и b.
Из 16 возможных исходов 11 благоприятствуют выигрышу игрока А и 5 — выигрышу игрока В, следовательно, из ставки С (денежных единиц) игрок А получил бы x A ден. ед., где x A — случайная величина, которая принимает значение С с вероятностью 11 16 и значение 0 с вероятностью 5 16 , а игрок В получил бы x B ден. ед., где x B — случайная величина, которая принимает значение С с вероятностью 5 16 и значение 0 с вероятностью 11 16 .
Найдем математическое ожидание величин x A и x B , т. е. найдем, сколько «в среднем» получил бы каждый игрок:
M( x A )=C⋅ 11 16 +0⋅ 5 16 = 11 16 C ;
M( x B )=C⋅ 5 16 +0⋅ 11 16 = 5 16 C .
Поэтому надо разделить ставку в отношении M( x A ):M( x B )=11:5 .
Отметим, что такое решение было предложено П. Ферма в 1654 г.
|
