Четверг, 21.01.2021, 04:04
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 2
Гостей: 2
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Метод интервалов решения неравенств
26.10.2014, 12:33
     Метод интервалов решения неравенств, рассматриваемый в данном пункте, знаком учащимся. Подчеркнем, что он основывается на свойстве двучлена х − а обращаться в нуль в точке х = а, принимать положительные значения для всех x > а и отрицательные значения для всех х < а. В п. 2.8 рассматриваются лишь строгие неравенства, содержащие произведения двучленов (неравенства с алгебраическими дробями рассматриваются в следующем пункте).
      Все учащиеся должны научиться решать неравенства, левая часть которых является произведением различных двучленов. Более сложный случай применения метода интервалов связан с наличием одинаковых двучленов. Метод решения таких неравенств назван в учебнике общим методом интервалов.
      Явного применения непрерывности функций здесь нет, этот прием будет рассмотрен только в 11 классе.

      Решения и комментарии

      2.72. Решите неравенство:
      а) (x2 − 4)(х2 − 5х + 6) > 0;
      д) x3 + x2 − 8x − 12 > 0.
      Решение. а) Разложив левую часть исходного неравенства на множители, перепишем неравенство в виде
(x − (−2))(x − 2)2(x − 3) > 0.     (1)

      Исследуем знак многочлена А (x) = (х − (−2))(х − 2)2(х − 3) на интервалах (−∞; −2), (−2; 2), (2; 3), (3; +∞). На интервале (3; +∞) каждый множитель положителен, поэтому А (x) > 0; при переходе через корень многочлена x = 3 меняет знак только один линейный множитель х − 3, следовательно, меняет знак и А (x), т. е. A (x) < 0 при x∈  (2; 3); при переходе через корень многочлена х = 2 меняют знак сразу два линейных множителя х − 2 и х − 2, следовательно, А (x) не меняет знак, т. е. A (x) <0 при x∈  (−2; 2); при переходе через корень многочлена х = − 2 меняет знак только один линейный множитель х − (−2), следовательно, меняет знак и А (x), т. е. А (x) > 0 при x∈  (−∞; −2) (рис. 10).


      Следовательно, все решения исходного неравенства составляют множество ( −∞;−2 )∪( 3;+∞ ) .
      д) Здесь сначала надо переписать неравенство, разложив многочлен на множители: (х − (−2))2(х − 3) > 0, а затем, применив описанную выше процедуру решения неравенства, получить, что все решения исходного неравенства составляют интервал (3; +∞).
      Дополнительное задание (С3, ЕГЭ, 2007). Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству (2а − 1)x2 < (а + 1)x + 3а при любом значении параметра а, принадлежащем промежутку (1; 2).
      Это задание можно выполнить, если применить метод интервалов.
      Решение. Перепишем исходное неравенство в виде
(2а − 1)x2 − (а + 1)x − 3a < 0.     (2)

      При каждом a∈  (1; 2) имеем 2а − 1 > 0, поэтому в левой части неравенства (2) записан квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при старшем члене, имеющий два корня х1 = −1 и x 2 = 3a 2a−1 , такие, что х1 < х2. Определив знак трехчлена на интервалах (рис. 11), получим, что при каждом значении a∈( 1;2 ) неравенство (2) равносильно двойному неравенству
−1<x< 3a 2a−1 .     (3)


      Так как 3a 2a−1 =2+ 2−a 2a−1 и 3a 2a−1 =3− 3( a−1 ) 2a−1 , а для каждого a∈( 1;2 ) справедливы неравенства 2−a 2a−1 >0 и 3( a−1 ) 2a−1 >0 , то для каждого a∈( 1;2 ) справедливо двойное неравенство
2< 3a 2a−1 <3 .     (4)

      Из неравенств (3) и (4) (рис. 12) следует, что любое число x0, такое, что −1< x 0 ≤2 , удовлетворяет неравенству (3) при любом a∈( 1;2 ) . Покажем, что других таких х нет.


      Ясно, что ни одно число х вне промежутка (−1; 3) не удовлетворяет неравенству (3) при любом a∈( 1;2 ) .
      Покажем, что любое x1, такое, что 2 < x1 < 3, также не удовлетворяет неравенству (3) при любом a∈( 1;2 ) (рис. 13).


      Для этого рассмотрим значение а = а1, такое, что верно равенство x 1 +2 2 = 3 a 1 2 a 1 −1 , тогда a 1 = x 1 +2 2( x 1 −1 ) и 2< 3 a 1 2 a 1 −1 < x 1 . Так как a 1 = 1 2 + 3 2( x 1 −1 ) и 2 < x1 < 3, то 1 2 + 3 4 < a 1 < 1 2 + 3 2 , т. е. a 1 ∈(1;2) .
      Итак, для числа х1 нашлось такое значение a= a 1 ∈(1;2) , что число х1 не удовлетворяет неравенству (3) при этом значении а.
      Следовательно, неравенству (3) при любом значении параметра a∈( 1;2 ) удовлетворяют лишь значения x, такие, что −1<x≤2 . Следовательно, искомые значения х есть х, удовлетворяющие неравенствам −1<x≤2 .
Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 2049 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru