Метод интервалов решения неравенств, рассматриваемый в данном пункте, знаком учащимся. Подчеркнем, что он основывается на свойстве двучлена х − а обращаться в нуль в точке х = а, принимать положительные значения для всех x > а и отрицательные значения для всех х < а. В п. 2.8 рассматриваются лишь строгие неравенства, содержащие произведения двучленов (неравенства с алгебраическими дробями рассматриваются в следующем пункте). Все учащиеся должны научиться решать неравенства, левая часть которых является произведением различных двучленов. Более сложный случай применения метода интервалов связан с наличием одинаковых двучленов. Метод решения таких неравенств назван в учебнике общим методом интервалов. Явного применения непрерывности функций здесь нет, этот прием будет рассмотрен только в 11 классе.
Исследуем знак многочлена А (x) = (х − (−2))(х − 2)2(х − 3) на интервалах (−∞; −2), (−2; 2), (2; 3), (3; +∞). На интервале (3; +∞) каждый множитель положителен, поэтому А (x) > 0; при переходе через корень многочлена x = 3 меняет знак только один линейный множитель х − 3, следовательно, меняет знак и А (x), т. е. A (x) < 0 при x∈ (2; 3); при переходе через корень многочлена х = 2 меняют знак сразу два линейных множителя х − 2 и х − 2, следовательно, А (x) не меняет знак, т. е. A (x) <0 при x∈ (−2; 2); при переходе через корень многочлена х = − 2 меняет знак только один линейный множитель х − (−2), следовательно, меняет знак и А (x), т. е. А (x) > 0 при x∈ (−∞; −2) (рис. 10).
Следовательно, все решения исходного неравенства составляют множество ( −∞;−2 )∪( 3;+∞ ) . д) Здесь сначала надо переписать неравенство, разложив многочлен на множители: (х − (−2))2(х − 3) > 0, а затем, применив описанную выше процедуру решения неравенства, получить, что все решения исходного неравенства составляют интервал (3; +∞). Дополнительное задание (С3, ЕГЭ, 2007). Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству (2а − 1)x2 < (а + 1)x + 3а при любом значении параметра а, принадлежащем промежутку (1; 2). Это задание можно выполнить, если применить метод интервалов. Решение. Перепишем исходное неравенство в виде (2а − 1)x2 − (а + 1)x − 3a < 0. (2)
При каждом a∈ (1; 2) имеем 2а − 1 > 0, поэтому в левой части неравенства (2) записан квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при старшем члене, имеющий два корня х1 = −1 и x 2 = 3a 2a−1 , такие, что х1 < х2. Определив знак трехчлена на интервалах (рис. 11), получим, что при каждом значении a∈( 1;2 ) неравенство (2) равносильно двойному неравенству −1<x< 3a 2a−1 . (3)
Так как 3a 2a−1 =2+ 2−a 2a−1 и 3a 2a−1 =3− 3( a−1 ) 2a−1 , а для каждого a∈( 1;2 ) справедливы неравенства 2−a 2a−1 >0 и 3( a−1 ) 2a−1 >0 , то для каждого a∈( 1;2 ) справедливо двойное неравенство 2< 3a 2a−1 <3 . (4)
Из неравенств (3) и (4) (рис. 12) следует, что любое число x0, такое, что −1< x 0 ≤2 , удовлетворяет неравенству (3) при любом a∈( 1;2 ) . Покажем, что других таких х нет.
Ясно, что ни одно число х вне промежутка (−1; 3) не удовлетворяет неравенству (3) при любом a∈( 1;2 ) . Покажем, что любое x1, такое, что 2 < x1 < 3, также не удовлетворяет неравенству (3) при любом a∈( 1;2 ) (рис. 13).
Для этого рассмотрим значение а = а1, такое, что верно равенство x 1 +2 2 = 3 a 1 2 a 1 −1 , тогда a 1 = x 1 +2 2( x 1 −1 ) и 2< 3 a 1 2 a 1 −1 < x 1 . Так как a 1 = 1 2 + 3 2( x 1 −1 ) и 2 < x1 < 3, то 1 2 + 3 4 < a 1 < 1 2 + 3 2 , т. е. a 1 ∈(1;2) . Итак, для числа х1 нашлось такое значение a= a 1 ∈(1;2) , что число х1 не удовлетворяет неравенству (3) при этом значении а. Следовательно, неравенству (3) при любом значении параметра a∈( 1;2 ) удовлетворяют лишь значения x, такие, что −1<x≤2 . Следовательно, искомые значения х есть х, удовлетворяющие неравенствам −1<x≤2 .
