Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного
26.10.2014, 10:39
В данном пункте учебника рассмотрены приемы решения тригонометрических неравенств, которые после замены неизвестного t=f( x ) , где f( x ) — одна из основных тригонометрических функций, сводятся к квадратному или рациональному неравенству. Здесь же показан прием решения тригонометрических неравенств с помощью замены аргумента у основных тригонометрических функций.
Решения и комментарии
11.44. а) Решите неравенство sin 2 x− 2 2 sin x<0 . (1)
Решение. Введем новое неизвестное t=sin x . Неравенство (1) перепишется в виде t 2 − 2 2 t<0 . (2)
Множество всех решений неравенства (2) есть все t из промежутка 0<t< 2 2 . Поэтому все решения неравенства (1) есть решения двойного неравенства 0<sin x< 2 2 . (3)
Множество всех решений неравенства (3), а значит, и неравенства (1) есть две серии интервалов ( 2πn; π 4 +2πn ) и ( 3π 4 +2πn; π+2πn ), n∈ Z (рис. 73).
11.47. а) Решите неравенство sin 2x>0 . (4)
Решение. Введем новое неизвестное t=2x . Неравенство (4) перепишется в виде sin t>0 . (5)
Множество всех решений неравенства (5) есть серия интервалов 2πn<t<π+2πn, n∈ Z, следовательно, множество всех решений неравенства (4) находим из условий
2πn<2x<π+2πn ,
оно задается условием
πn<x< π 2 +πn, n∈ Z.
Следовательно, множество решений неравенства (4) есть серия интервалов ( πn; π 2 +πn ), n∈ Z.
