В пункте приведены приемы решения неравенств, которые после замены неизвестного сводятся к простейшим показательным или логарифмическим неравенствам.
Решения и комментарии
6.48. а) Решите неравенство 125⋅ 3 2x−7 −27⋅ 5 2x−7 >0 .
Решение. Так как 5 2x−7 >0 для любого действительного x, то, разделив исходное неравенство на 125⋅ 5 2x−7 , получим неравенство ( 3 5 ) 2x−7 − 27 125 >0 , равносильное исходному неравенству. Перепишем это неравенство в виде
( 3 5 ) 2x−7 > ( 3 5 ) 3 . (1)
Обозначив t=2x−7 , перепишем неравенство (1) в виде простейшего показательного неравенства
( 3 5 ) t > ( 3 5 ) 3 . (2)
Так как 0< 3 5 <1 , то неравенство (2) равносильно неравенству t<3 , следовательно, все решения неравенства (1) составляют множество решений неравенства 2x−7<3 , т. е. промежуток ( −∞; 5 ) .
Замечание. При решении таких неравенств часто замену неизвестного не записывают в явном виде, переходя от неравенства (1) к равносильному ему неравенству 2x−7<3 .
6.54. а) Решите неравенство log 2 ( x 2 −5x+4 )<2 .
Решение. Введя новое неизвестное t= x 2 −5x+4 и заменив число 2 на log 2 4 , перепишем исходное неравенство в виде
log 2 t< log 2 4 . (3)
Так как 2>1 , то все решения неравенства (3) составляют промежуток 0<t<4 . Следовательно, все решения исходного неравенства есть решения двойного неравенства
0< x 2 −5x+4<4 . (4)
Решив двойное неравенство (4), найдем все его решения: x∈( 0; 1 )∪( 4; 5 ) . Они являются также решениями равносильного ему исходного неравенства.
6.55. а) Решите неравенство log 2 ( log 3 x )>1 .
Решение. Введя новое неизвестное t= log 3 x и заменив число 1 на log 2 2 , перепишем исходное неравенство в виде
log 2 t> log 2 2 . (5)
Так как 2>1 , то неравенство (5) равносильно неравенству t>2 . Поэтому все решения исходного неравенства являются решениями неравенства
log 3 x>2 . (6)
Неравенство (6) имеет множество решений ( 9; +∞ ) , следовательно, и равносильное ему исходное неравенство имеет те же решения.
6.59. а) Решите неравенство
1 lg( 3x+1 ) + 2 lg( 3x+1 )+lg0,01 >−1 .
Решение. Введя новое неизвестное t=lg( 3x+1 ) и заменив lg 0,01 числом –2, перепишем исходное неравенство в виде
1 t + 2 t−2 >−1 . (7)
Неравенству (7) удовлетворяют все t<−2 , все t>2 и все t из промежутка 0<t<1 . Следовательно, множество решений исходного неравенства есть объединение множеств решений трех неравенств:
lg(3x+1)<−2,
lg(3x+1)>2,
0<lg(3x+1)<1.
Эти неравенства имеют множество решений — соответственно ( − 1 3 ; −0,33 ) , ( 33; +∞ ) и (0; 3) . Поэтому множество решений исходного неравенства есть объединение этих промежутков: ( − 1 3 ; −0,33 )∪(0; 3)∪( 33; +∞ ) .
6.62. б) Решите неравенство 3⋅ 9 x −5⋅ 6 x +2⋅ 4 x <0 .
Решение. Так как 4 x >0 для любого действительного х, то, разделив исходное неравенство на 4 x , получим неравенство
3⋅ ( 3 2 ) 2x −5⋅ ( 3 2 ) x +2<0 , (8)
равносильное исходному неравенству.
Введя новое неизвестное t= ( 3 2 ) x , перепишем неравенство (8) в виде
3 t 2 −5t+2<0 . (9)
Множество решений неравенства (9) есть промежуток 2 3 <t<1 . Поэтому, чтобы найти все решения неравенства (8), надо решить двойное неравенство
( 3 2 ) −1 < ( 3 2 ) x < ( 3 2 ) 0 . (10)
Множество решений неравенства (10) есть интервал ( −1; 0 ) . Следовательно, множество решений исходного неравенства (8) есть тот же интервал.
Особое внимание надо уделить однородным показательным неравенствам. Выше было показано решение однородного показательного неравенства первой степени (задание 6.35), а в данном пункте учебника показан способ решения однородных показательных неравенств второй степени (задание 6.62; см. также п. 23 дидактических материалов).
Промежуточный контроль. С—22, С—23.
Контрольная работа № 4. | 