Особенность изложения материала о нестрогих неравенствах заключается в том, что они рассматриваются после изучения способов решения строгих неравенств. Для решения нестрогого неравенства требуется решить уравнение, затем строгое неравенство и объединить все найденные решения (см. решение неравенства 2.91).
Решения и комментарии
2.91. а) Решите неравенство x 2 −4x+3 x 2 −9 ≥0 . Решение. Разложив числитель и знаменатель алгебраической дроби в левой части исходного неравенства на множители, перепишем его в виде (x−3)(x−1) (x+3)(x−3) ≥0 . (1)
Сначала решим уравнение (x−3)(x−1) (x+3)(x−3) =0 . (2)
Оно имеет единственный корень х1 = 1. Теперь решим строгое неравенство (x−3)(x−1) (x+3)(x−3) >0 . (3)
Применяя к неравенству (4) общий метод интервалов (рис. 15), получим, что множество всех решений неравенства (4), а значит, и равносильного ему неравенства (3) есть объединение интервалов (−∞; −3), (1; 3), (3; +∞). Объединив решения уравнения (2) и неравенства (3) (рис. 16), получим множество решений исходного неравенства: (−∞; −3) ∪ [1; 3) ∪ (3; +∞).
Следовательно, все решения исходного неравенства составляют множество (−∞; −3) ∪ [1; 3) ∪ (3; +∞). Замечание. Описанный выше переход от неравенства (3) к неравенству (4) можно применять только для строгих неравенств. Иногда учащиеся по ошибке переносят такой способ рассуждения и на нестрогие неравенства. Например, они могут заменить неравенство (1), имеющее множество решений (−∞; −3) ∪ [1; 3) ∪ (3; +∞) (см. рис. 16), неравенством ( x+3 )⋅( x−1 ) ( x−3 ) 2 ≥0 , которое имеет множество решений (−∞; −3] ∪ [1; +∞) (рис. 17), т. е. приобрести два лишних решения: −3 и 3.
Промежуточный контроль. С—12, С—13. Задания из этих самостоятельных работ могут использоваться выборочно как для выполнения самостоятельной работы на оценку, так и для домашних самостоятельных работ. К заданиям на решение систем неравенств можно вернуться при изучении следующего пункта учебника.
