В данном пункте учебника рассмотрены однородные тригонометрические уравнения и способ их решения с помощью перехода к равносильным им уравнениям относительно тангенса, приведены примеры решения однородных уравнений первой, второй и третьей степени.
Решения и комментарии
11.26. а) Решите уравнение sin x−cos x=0 .
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению tg x−1=0 , имеющему одну серию решений x m = π 4 +πm, m∈ Z, следовательно, исходное уравнение имеет ту же серию решений.
11.29. а) Решите уравнение
sin 2 x−3sin xcos x+2 cos 2 x=0 .
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
tg 2 x−3 tg x+2=0 . (1)
Сделав замену неизвестного t=tg x , получим квадратное уравнение t 2 −3t+2=0 , имеющее два корня: t 1 =1 и t 2 =2 .
Следовательно, множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух уравнений:
tg x=1 и tg x=2 .
Все решения первого из этих уравнений составляют серию решений x m = π 4 +πm, m∈ Z, а все решения второго уравнения составляют серию решений x n =arctg 2+πn, n∈ Z. Следовательно, все решения исходного уравнения, равносильного уравнению (1), составляют те же две серии решений.
11.30. а) Решите уравнение
sin 3 x−2 sin 2 xcos x−sin x cos 2 x+2 cos 3 x=0 .
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
tg 3 x−2 tg 2 x−tg x+2=0 . (2)
Сделав замену неизвестного t=tg x , получим уравнение t 3 −2 t 2 −t+2=0 , имеющее три корня: t 1 =−1 , t 2 =1 , t 3 =2 .
Следовательно, множество решений уравнения (2) есть объединение множеств решений трех уравнений:
tg x=−1, tg x=1, tg x=2 .
Решая каждое из этих простейших тригонометрических уравнений, находим, что множество всех решений уравнения (2), а значит, и исходного уравнения состоит из трех серий решений: x m =− π 4 +πm, m∈ Z, x k = π 4 +πk, k∈ Z, x n =arctg 2+πn, n∈ Z.
Две первые серии можно объединить в одну:
x m = π 4 + πm 2 , m∈ Z.
11.31. а) Решите уравнение 2cos 4x− cos 3 x=2−16 cos 2 x .
Решение. Используя тождества
cos 4x=2 cos 2 2x−1=2 ( 2 cos 2 x−1 ) 2 −1= =8 cos 4 x−8 cos 2 x+1,
перепишем исходное уравнение в виде
16 cos 4 x− cos 3 x=0
или в виде
cos 3 x( cos x− 1 16 )=0 . (3)
Следовательно, множество решений уравнения (3) есть объединение множеств решений двух уравнений:
cos x=0 и cos x= 1 16 .
Все решения первого из этих уравнений составляют серию решений x m = π 2 +πm, m∈ Z, а все решения второго уравнения составляют серию решений x n =±arccos 1 16 +2πn, n∈ Z. Следовательно, все решения исходного уравнения составляют те же две серии решений.
Промежуточный контроль. С—42.
| 