В данном пункте нужно сначала повторить все сведения из тригонометрии прямоугольного треугольника, необходимые в дальнейшей работе: определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, нахождение двух сторон этого треугольника по одной его стороне и острому углу, вывод табличных значений синуса и косинуса для углов 30°, 45°, 60°. При этом надо обратить внимание учащихся на тот факт, что большая часть тригонометрического материала, которую действительно лучше помнить, легко усваивается с опорой на наглядные образы, различные мнемонические правила, что запоминание фактов тригонометрии в виде таблиц является наименее продуктивным и опасным с точки зрения правильного воспроизведения запомненного. В учебнике вводится понятие единичной окружности, синуса и косинуса угла α , рассматриваются свойства синуса и косинуса как функций угла α . Для того чтобы в дальнейшем успешно решать простейшие тригонометрические уравнения, учащиеся должны научиться правильно изображать на единичной окружности точки, соответствующие значениям тригонометрических функций, и в случае табличных значений уметь определять соответствующие значения аргументов этих функций. Достижению этой цели способствует самостоятельная работа С—26. Обратите внимание учащихся на то, что точки первой четверти, соответствующие табличным значениям синуса и косинуса, надо строить так, как показано на рисунке 25. Эти точки находятся на пересечении с единичной окружностью осей координат, биссектрисы угла АОВ, прямых x= 1 2 и y= 1 2 . Поэтому в тетради нужно рисовать единичную окружность радиусом 1 см или 2 см, чтобы было удобно делить пополам их радиусы с помощью клетчатой бумаги.
Применяя теорему Пифагора, из прямоугольных треугольников ОМK и ONE найдем, что OK=NE= 3 2 . Поэтому cos 30°=sin 60°= 3 2 . Аналогично CF=OF= 2 2 . Поэтому sin 45°=cos 45°= 2 2 . Следующий этап изучения тригонометрических функций — формирование понятий синуса и косинуса произвольного угла. Для успешного освоения тригонометрии произвольного угла важно научить школьников определять значения тригонометрических функций по точке единичной окружности, соответствующей углу, по значениям тригонометрических функций угла отмечать на единичной окружности точки и определять соответствующие им углы. Последнее умение, по сути, есть умение решать простейшее тригонометрическое уравнение. Только пока ставится задача не решить уравнение, а найти, например, все такие углы α , для каждого из которых справедливо равенство sin α = 0 (см. задание 7.26a).
Решения и комментарии
7.30. Вычислите, сделав рисунок: a) sin 120°; в) sin 135°. Решение. Сделав рисунок (см. рис. 26, а, б), учащиеся поймут, что sin 120° = sin 60°, sin 135° = sin 45°. Затем, используя табличные значения, получат ответ: sin 120°= 3 2 , sin 135°= 2 2 .
Представляется целесообразным научить школьников решению таких задач до того, как они научатся на следующих уроках применять формулы при преобразованиях. 7.35. а) Найдите синусы и косинусы углов π 2 +2πk , где k — любое целое число. Решение. Сначала по записи данных углов учащиеся должны построить точку единичной окружности, соответствующую углам α k = π 2 +2πk , где k∈ Z, а потом определить, что sin α k =1 , cos α k =0 . 7.46—7.47. При выполнении этих заданий надо опираться на умение строить точки единичной окружности, соответствующие данным углам, и находить значения синуса или косинуса данного угла исходя из определения, так как свойства sin (–α) = –sin α и cos (–α) = cos α еще не изучены. Для закрепления знания свойств функций угла: sin α и cos α здесь полезно рассмотреть задания 7.65а, б, 7.66а, б, 7.67а. 7.65. а) Сравните sin 91° и sin 92°. Решение. 91° и 92° — углы второй четверти, в которой большему углу соответствует меньший синус, поэтому sin 91° > sin 92°. 7.66. а) Сравните cos 101° и cos 157°. Решение. 101° и 157° — углы второй четверти, в которой большему углу соответствует меньший косинус, поэтому cos 101° > cos 157°. 7.67. а) Сравните cos 1,6π и cos 1,68π. Решение. 1,6π и 1,68π — углы четвертой четверти, в которой большему углу соответствует больший косинус, поэтому cos 1,6π > cos 1,68π.
