В данном пункте с опорой на ранее изученные факты — уравнение окружности, свойства координат точек единичной окружности, симметричных относительно оси Ох, относительно начала координат, — доказаны основное тригонометрическое тождество
sin 2 α+ cos 2 α=1 (1)
и формулы
sin ( −α )=−sin α , (2)
cos ( −α )=cos α , (3)
sin ( α+2πk )=sin α, k∈ Z, (4)
cos ( α+2πk )=cos α, k∈ Z, (5)
sin ( π+α )=−sin α , (6)
cos ( π+α )=−cos α . (7)
Некоторые другие формулы, например sin ( π−α )=sin α , cos ( π−α )=−cos α могут быть доказаны как следствия формул (2) — (7) (см. задание 7.68). Например,
sin ( π−α )=sin ( π+( −α ) )=−sin ( −α )=sin α .
В самостоятельной работе С—27 проверяется умение школьников находить значения одной из заданных функций угла α (sin α или cos α) по заданному значению другой и выполнять упрощения выражений с применением формул (1) — (7).
Решения и комментарии
7.54. а) Вычислите sin α, если cos α= 1 4 , 0<α< π 2 .
Решение. Поскольку 0<α< π 2 , то sin α>0 . Так как sin 2 α=1− cos 2 α=1− 1 16 = 15 16 , то sin α= 15 16 = 15 4 .
При решении этой и аналогичных задач лучше избегать записи: sin α=± 1− cos 2 α , так как, имея опыт вычисления корней квадратного уравнения по формуле −b± D 2a , учащиеся могут подумать, что имеется два значения sin α, отвечающих условию задачи, а это не так.
7.64. а) Расположите в порядке возрастания числа: sin ( −55° ) , sin 600° , sin 1295° .
Решение. Выразим синусы данных углов через синусы углов из первой четверти:
sin ( −55° )=−sin 55° ;
sin 600°=sin ( 240°+360° )=sin 240°=sin ( 180°+60° )=−sin 60° ;
sin 1295°=sin ( 215°+3⋅360° )=sin 215°=sin ( 180°+35° )=−sin 35° .
Так как углы 55°, 60° и 35° принадлежат первой четверти, в которой большему углу соответствует больший синус, то sin 35°<sin 55°<sin 60° . Но тогда −sin 35°>−sin 55°>−sin 60° ,
поэтому sin 1295°>sin ( −55° )>sin 600° .
7.67. г) Сравните sin 1 и cos 1.
Решение. Так как π 4 <1< π 2 , то угол в 1 радиан находится в I четверти, поэтому sin 1>sin π 4 =cos π 4 >cos 1 , следовательно, sin 1>cos 1 .
7.71—7.72. Эти задания готовят учащихся к решению простейших тригонометрических уравнений для «табличных» углов.
7.73—7.74. Эти задания готовят учащихся к введению понятий арксинуса и арккосинуса числа. Для выполнения заданий «д» и «е» лучше брать единичную окружность радиуса 1,5 см или 3 см. Тогда точки единичной окружности, соответствующие углу α , будут указаны точнее.
Промежуточный контроль. С—27.
| 