Понятие действительного числа. Множества чисел. Свойства действительных чисел
26.10.2014, 12:57
Материал первых двух пунктов § 1 нацелен на повторение с некоторым обобщением известных учащимся сведений о действительных числах, модуле числа, системе координат на прямой и плоскости. Надо обратить внимание учащихся на то, что множество чисел может быть замкнутым относительно некоторой операции, например множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения: сумма и произведение любых двух натуральных чисел являются натуральными числами, а разность и частное не обязательно являются натуральными числами. Стремление «усовершенствовать» множество чисел, сделать выполнимыми в «новом» множестве операции, не всегда выполнимые в «старом», является побудительной причиной для расширения первоначально освоенных множеств чисел. Здесь можно напомнить учащимся некоторые не всегда выполнимые операции, которые стали всегда выполнимыми после расширения множества чисел. Надо напомнить учащимся, что наряду с бесконечными десятичными периодическими дробями существуют и бесконечные десятичные непериодические дроби, которые называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа составляют множество всех действительных чисел. Сравнивают действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных дробей, поразрядно, т. е. по тем же правилам, по которым сравнивают конечные десятичные дроби. Имеется особый случай — дроби с периодом 9. Такие дроби есть другая форма записи конечных десятичных дробей, которые можно записать еще и как бесконечные десятичные дроби с периодом 0. В учебнике приведен пример записи дроби 2,4 в виде дробей с периодами 0 и 9: 2,4 = 2,4000... = 2,4(0) и 2,4 = 2,3999... = 2,3(9). Дроби с периодом 9 обычно не рассматривают, в частности, чтобы избежать путаницы при сравнении бесконечных десятичных дробей, например, дробь 2,4(0) может оказаться «больше самой себя», но записанной в виде 2,3(9). Пункт 1.1 учебника завершается представлением действительных чисел точками координатной прямой, системой координат на плоскости. При повторении материала данного пункта надо обратить внимание учащихся на мнемоническое правило записи бесконечной десятичной периодической дроби в виде обыкновенной дроби: для того чтобы записать периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, надо в числителе записать разность числа до второго периода и числа до первого периода, в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. Это правило сформулировано в п. 1 дидактических материалов, там же приведены примеры его применения. Применение этого правила можно заменить рассуждениями, которые продемонстрируем на примере. Пример. Запишем бесконечную периодическую десятичную дробь 2,1(45) в виде обыкновенной дроби. Обозначим дробь буквой х: x = 2,1(45),
Замечание 1. Часто возникает вопрос об обосновании мнемонического правила и рассуждений в приведенном примере. Трудность здесь заключена в том, что неясно, что ученик понимает под бесконечной периодической дробью. Под бесконечной периодической дробью можно понимать результат деления уголком числителя на знаменатель несократимой дроби, имеющий простой делитель, отличный от 2 и 5. При таком подходе невозможно получить дробь с периодом 9 и можно убедиться в правильности ответа в приведенном примере, разделив уголком 118 на 55, но трудно обосновать мнемоническое правило в общем виде. Замечание 2. Под бесконечной периодической дробью α0,α1α2α3...αk... можно понимать сумму ряда α 0 + α 1 10 + α 2 10 2 + α 3 10 3 +...+ α k 10 k +... . При таком подходе надо изучать свойства рядов и доказывать на их основе мнемоническое правило и правило умножения бесконечной десятичной дроби на 10n, что достаточно трудно. Однако в случае простых периодических дробей можно доказать, например, равенство 2,3(9) = 2,4. Действительно, периодическую дробь 2,3(9) можно записать в виде суммы ряда
2,3 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...,
являющегося суммой числа 2,3 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ..., равной 0,09 1−0,1 =0,1 . Поэтому 2,3(9) = 2,4 (отметим, что формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии уже изучалась в 9 классе и будет обоснована в п. 4.5 учебника). Вот почему нам кажется, что здесь не стоит углубляться в теорию: определять периодическую дробь, обосновывать мнемоническое правило и правило умножения бесконечной десятичной дроби на 10n. Достаточно, если у учащихся будет сформировано интуитивное представление о периодической дроби, а при записи ее в виде обыкновенной дроби они сумеют либо воспользоваться мнемоническим правилом, либо провести рассуждения, как в приведенном выше примере, и совсем хорошо, если они убеждаются в правильности полученного ответа, разделив уголком числитель дроби на ее знаменатель. Пункт 1.2 посвящен знакомым учащимся обозначениям числовых множеств. Обратим внимание на то, что в девятилетней школе термины «отрезок», «интервал», «полуинтервал» для обозначения числовых множеств в большинстве учебников не используются. На с. 13—14 учебника приведены свойства действительных чисел. Надо подчеркнуть, что все другие свойства действительных чисел, различные неравенства и многие теоремы могут быть доказаны с опорой на эти основные свойства. При работе с материалами пп. 1.1—1.2 можно использовать задачи из раздела «Задания для повторения» для организации повторения и выявления пробелов в подготовке десятиклассников. С той же целью можно использовать самостоятельные работы 1—4 из дидактических материалов. Способы использования этих и многих других самостоятельных работ могут быть различными. Например, по работе 1 может быть дано такое задание: самостоятельно повторить теоретический материал (раздел I, с. 4—5) и выполнить самостоятельную работу С—1 (раздел II, с. 64—65).
Решения и комментарии
1.17. а) Решите уравнение ||x| − 2| = 10. Решение. Решая это уравнение, надо начинать с ответа на вопрос: «Какое число имеет модуль 10?» Ответ на него приводит к необходимости решить два уравнения:
| x |−2=10 и | x |−2=−10 или равносильные им уравнения: | x |=12 и | x |=−8 . Первое уравнение имеет два корня: 12 и −12, а второе — не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 12 и −12. 1.18. а) Докажите, что расстояние между точками А (х1) и В (x2) вычисляется по формуле АВ = |х1 − х2|. б) Докажите, что расстояние между точками А (х1; у1) и В (x2; у2) вычисляется по формуле AB= ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 . в) Докажите, что координата точки С (х) — середины отрезка АВ, где A (x1) и В (x2), вычисляется по формуле: x= x 1 + x 2 2 . г) Докажите, что координаты точки С (х; у) — середины отрезка АВ, где А (х1; y1) и В (х2, у2), вычисляются по формулам: x= x 1 + x 2 2 ; y= y 1 + y 2 2 . д) Докажите, что если точка С (х) принадлежит отрезку АВ, где А (х1) и В (x2), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координата точки С вычисляется по формуле x= n x 1 +m x 2 m+n . е) Докажите, что если точка С (х; у) принадлежит отрезку АВ, где А (х1; у1) и В (х2, у2), и делит этот отрезок в отношении АC : CВ = m : n, то координаты точки С вычисляются по формулам: x= n x 1 +m x 2 m+n , y= n y 1 +m y 2 m+n . Решение. а) Если x1 > x2, то АВ = х1 − х2 = |х1 − х2|. Если х1 < х2, то АВ = х2 − х1 = |х1 − х2|. б) В случае у1 ≠ у2 и x1 ≠ x2 требуемое равенство получаем из теоремы Пифагора. Если же у1 = y2, то доказываемое равенство тоже верно, так как | x 1 − x 2 |= ( x 1 − x 2 ) 2 + 0 2 (см. п. «а»). Доказательство в случае х1 = х2 аналогично. в) Пусть для определенности x1 < x2, тогда х1 < х < х2 и из условия, что С — середина отрезка АВ, следует, что х2 − х = x − x1, откуда и получаем требуемое равенство. Доказательство в случае х1 > х2 аналогично. г) Через точки А, В и С проведем прямые, перпендикулярные оси Ох (рис. 1). На пересечении их с осью Ох получим точки Ах (x1), Вх (x2) и Сх(х). Так как по теореме Фалеса АxСx = ВxСx, то из п. «в» следует, что x= x 1 + x 2 2 . Доказательство второй формулы аналогично.
д) Пусть х1 < х < х2. Так как AC : CB = m : n, то верно равенство x− x 1 m = x 2 −x n , из которого получаем требуемое равенство x= n x 1 +m x 2 m+n . Доказательство в случае x1 > x > х2 аналогично. е) Пусть точка С (х; у) принадлежит отрезку АВ, где А (х1; у1) и В (x2; y2), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n. Через точки А, В и С проведем прямые, перпендикулярные оси Ох. На пересечении их с осью Ох получим точки Аx (x1), Bx (x2) и Сx (х). Так как по теореме о пропорциональных отрезках АC : CВ = АxСx : CxВx, то AxCx : CxBx = m : n. Тогда x= n x 1 +m x 2 m+n (см. п. «д»). Доказательство второй формулы аналогично. 1.19. Доказательство иррациональности корней степени n в общем виде дано в комментариях к п. 3.9. 1.28. а) Установите взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств N и Z; N и Q. б) Покажите, что между множествами всех точек прямой и всех точек интервала (0; 1) можно установить взаимно-однозначное соответствие. Решение. а) Сначала установим взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств N и Z. Поставим в соответствие каждому натуральному числу единственное целое число по правилу: единице соответствует нуль, каждому четному натуральному числу 2n соответствует число n, а следующему за ним натуральному числу 2n + 1 соответствует число –n. Также можно указать правило, по которому каждому целому числу соответствует вполне определенное натуральное число: нулю соответствует единица, каждому положительному целому числу n соответствует натуральное число 2n, а противоположному ему числу –n соответствует натуральное число 2n + 1. Взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств N и Z установлено: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 0, 1, −1, 2, −2, 3 −3, 4, −4, 5, ...
Теперь установим взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств N и Q. Выпишем рациональные числа в виде дробей так, чтобы сумма числителя и знаменателя положительной дроби была равна 1, потом 2, потом 3, ..., и записывая после каждого положительного рационального числа противоположное ему рациональное число. При этом пропускаются дроби, равные записанным ранее дробям. Так задается правило, по которому каждое рациональное число получит свой определенный номер члена бесконечной последовательности дробей. Каждой дроби будет соответствовать свое натуральное число (номер члена последовательности), а каждому натуральному числу — своя дробь. Взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств N и Q установлено: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 0 1 , 1 1 , − 1 1 , 2 1 , − 2 1 , 1 2 , − 1 2 , 3 1 , − 3 1 , 1 3 , − 1 3 , 4 1 , − 4 1 , ...
б) Взаимно-однозначное соответствие между множествами всех точек прямой и всех точек интервала (0; 1) установлено на рисунке 2.
Здесь показан способ отыскания точки N прямой, соответствующей точке М интервала, а также точки R интервала, соответствующей точке Р прямой. Промежуточный контроль. С—1.
