В пункте вводится понятие логарифма. Прежде чем давать определение логарифма, можно предложить учащимся устные задания, в которых часто будет звучать оборот «показатель степени, в которую надо возвести ..., чтобы получить ...». Например, «назовите показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 8», «назовите показатель степени, в которую надо возвести 3, чтобы получить 9».
Ответы на несколько таких вопросов надо записать на доске в виде равенств:
2 3 =8, 3 2 =9, …
Затем надо сказать, что показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 8, называют логарифмом числа 8 по основанию 2 и обозначают log 2 8 ; показатель степени, в которую надо возвести 3, чтобы получить 9, называют логарифмом числа 9 по основанию 3 и обозначают log 3 9 и т. п. По ходу разговора на доске добавляются новые записи:
2 3 =8, log 2 8=3; 3 2 =9, log 3 9=…
Следует заметить, что основание логарифма и основание степени в каждой строчке — одно и то же число. Теперь учащиеся будут подготовлены к введению определения логарифма числа b по основанию а.
В учебнике графически обосновывается, что для любого b>0 и любого a( a>0, a≠1 ) существует, и притом единственное, число α , такое, что b= a α . Его называют логарифмом числа b no основанию а и обозначают log a b , при этом число a ( a>0, a≠1 ) называют основанием логарифма. Из определения логарифма следует, что a log a b =b .
Здесь же вводятся обозначения для десятичных и натуральных логарифмов.
Решения и комментарии
5.4. а) Вычислите log 2 4 .
Решение. Вычисляя log 2 4 , нужно подобрать показатель степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить 4: так как 2 2 =4 , то log 2 4=2 .
5.5. Вычислите: а) 2 log 2 3 ; г) 2 log 2 3+ log 2 5 .
Решение. а) Применяя равенство a log a b =b , имеем: 2 log 2 3 =3 .
г) Применяя свойство степени и равенство a log a b =b , имеем:
2 log 2 3+ log 2 5 = 2 log 2 3 ⋅ 2 log 2 5 =3⋅5=15 .
5.9. Вычислите: з) e 2ln5 ; л) 10 2lg3 .
Решение. з) e 2ln5 = ( e ln5 ) 2 = 5 2 =25 ;
л) 10 2lg3 = ( 10 lg3 ) 2 = 3 2 =9 .
| 