В данном пункте сначала вводится понятие бесконечно малой (последовательности или переменной), при этом на базовом уровне не формализуется термин «стремиться», достаточно научить школьников из предложенных переменных правильно находить бесконечно малые. Формальное определение бесконечно малой на языке «ε − N» в учебнике имеется, вводится также понятие бесконечно большой. Они предназначены для углубленного изучения математики. Понятие предела последовательности формируется с помощью понятия бесконечно малой.
Обратим внимание на то, что некоторым учащимся задания 4.25 и 4.29 могут показаться сложными, так как они не умеют делить многочлен на одночлен, двучлен. Надо посоветовать им представлять данные дроби в виде суммы дробей.
В дидактических материалах (п. 19) разобран ряд примеров на понятие предела последовательности.
Решения и комментарии
4.25. Представьте переменную αn в виде суммы постоянной и бесконечно малой, если:
а) α n = n+1 n ; в) α n = n 2 +4n n 2 .
Решение. а) α n = n+1 n = n n + 1 n =1+ 1 n ;
в) α n = n 2 +4n n 2 = n 2 n 2 + 4n n 2 =1+ 4 n .
Здесь 1 n и 4 n — бесконечно малые.
Эти преобразования необходимо освоить, чтобы в аналогичных случаях находить пределы последовательностей.
4.29. д) Найдите предел переменной, представив ее в виде суммы постоянной и бесконечно малой: lim n→+∞ n+2 n+1 .
Решение. lim n→+∞ n+2 n+1 = lim n→+∞ ( n+1 n+1 + 1 n+1 )= lim n→+∞ ( 1+ 1 n+1 )=1 , так как выражение 1+ 1 n+1 является суммой числа 1 и бесконечно малой 1 n+1 .
4.30. Для заданного положительного ε укажите такое число N, что для переменной ап для всех натуральных п > N выполняется неравенство | α n |<ε , если:
а) α n = 1 n ; б) α n = 2 n .
Решение. При выполнении этого задания достаточно ограничиться подбором числа N для выбранного числа ε.
а) Если ε = 0,1, то при п > 10 справедливо неравенство | α n |<ε , т. е. N = 10; если ε = 0,01, то при п > 100 справедливо неравенство | α n |<ε , т. е. N = 100. Для любого ε > 0 при n> 1 ε справедливо неравенство |αn| < ε , т. е. N= 1 ε .
б) Если ε = 0,1, то при п > 20 справедливо неравенство |αn| < ε, т. е. N = 20; если ε = 0,01, то при п > 200 справедливо неравенство |αn| < ε , т. е. N = 200. Для любого ε > 0 при n> 2 ε справедливо неравенство |αn| < ε, т. е. N= 2 ε .
В каждом из рассмотренных заданий учащиеся могут привести еще несколько примеров, главное назначение которых — показать, что для любого ε > 0 в данном примере можно подобрать такое число N, что при всех п > N справедливо неравенство |αn| < ε.
4.31. Используя определение бесконечно малой величины (через ε и N), докажите, что переменная αn — бесконечно малая величина, если:
б) α n = 2000 n+10 ; в) α n = n n 2 +1 .
Решение. б) Пусть задано число ε > 0. Найдем все такие п, для которых справедливо неравенство |αn| < ε , т. е. справедливо неравенство
| 2000 n+10 |<ε . (1)
Так как п > 0, то неравенство (1) перепишем в виде
2000 n+10 <ε . (2)
Так как п > 0 и ε > 0, то неравенство (2) равносильно неравенству
n> 2000 ε −10 .
Таким образом, неравенство (1) справедливо тогда и только тогда, когда n> 2000 ε −10 . Если в качестве числа N возьмем 2000 ε −10 (для ε < 200), то для любого выбранного ε > 0 из неравенства п > N следует неравенство |αn| < ε, а по определению это означает, что αn — бесконечно малая величина.
Здесь полезно выбрать несколько значений ε, чтобы пояснить смысл сказанного.
Если ε = 0,2, то при n> 2000 0,2 −10=10 000−10=9990 справедливо неравенство |αn| < ε, т. е. N = 9990;
если ε = 0,1, то при n> 2000 0,1 −10=20 000−10=19 990 справедливо неравенство |αn| < ε, т. е. N = 19 990;
если ε = 0,01, то при n> 2000 0,01 −10=200 000−10=199 990 справедливо неравенство |αn| < ε, т. е. N = 199 990.
Здесь учащихся нужно подвести к выводу: если в качестве ε выбрать сколь угодно малое положительное число, то по формуле N= 2000 ε −10 всегда найдется такое число N, что из неравенства п > N следует неравенство |αn| < ε.
в) Это задание сложнее предыдущего. Здесь неравенство |αn| < ε приводит к неравенству εn2 − п + ε > 0, решая которое в предположении, что 0 < ε < 0,5 и n∈ N, получим 0<n< 1− 1−4 ε 2 2ε и n> 1+ 1−4 ε 2 2ε . Отсюда следует, что если в качестве числа N взять 1+ 1−4 ε 2 2ε , то для любого 0 < ε < 0,5 из неравенства п > N будет следовать неравенство |αn| < ε.
В качестве примера удобно взять ε = 0,4, тогда N = 2; если взять ε = 0,3, то N = 3; если же взять ε = 0,1, то n > 9,8..., т. е. N = 9.
4.32. Для заданного числа М > 0 укажите такое число N, что для всех натуральных п > N выполняется неравенство |xn| > М, если:
в) x n = n 100 ; г) x n = n 2 ; д) x n =−3n ; е) x n = n 2 2000 .
Решение. При решении этого задания достаточно ограничиться подбором числа N для выбранного числа М.
в) Если М = 10, то при п > 1000 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 1000; если М = 200, то при п > 20 000 справедливо неравенство |xn| > M, т. е. N = 20 000. Для любого М > 0 при n > 100М справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 100M.
г) Если М = 400, то при п > 20 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 20; если М = 2500, то при п > 50 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 50. Для любого М > 0 при n> M справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N= M .
д) Если М = 100, то при п > 33 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 33; если М = 600, то при п > 200 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 200. Для любого М > 0 при n> M 3 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N= M 3 .
е) Если М = 5, то при п > 100 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 100; если М = 20, то при п > 200 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 200. Для любого М > 0 при n> 2000M справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N= 2000M .
В каждом из рассмотренных заданий учащиеся могут привести еще несколько примеров, главное назначение которых — показать, что для любого М > 0 в данном примере можно подобрать такое число N, что при всех п > N справедливо неравенство |xn| > М.
4.33. Используя определение бесконечно большой величины (через М и N), докажите, что переменная xn — бесконечно большая величина, если:
в) x n = n+5 3 ; е) x n = n 2 −9 n .
Доказательство. в) Пусть дано число М > 0. Найдем все такие n, для которых справедливо неравенство |xn| > М, т. е. справедливо неравенство
| n+5 3 |>M . (3)
Так как п > 0, то неравенство (3) перепишем в виде
n+5 3 >M . (4)
Неравенство (4) равносильно неравенству n > 3М − 5.
Таким образом, неравенство (3) справедливо тогда и только тогда, когда п > 3М − 5. Если в качестве числа N возьмем наибольшее из чисел 0 и 3М − 5, то для любого выбранного М > 0 из неравенства п > N следует неравенство |xn| > М, а по определению это означает, что xn — бесконечно большая.
Здесь полезно выбрать несколько значений М, чтобы пояснить смысл сказанного.
Если М = 1, то при n > 0 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 0;
если М = 10, то при n > 30 − 5 = 25 справедливо неравенство |xn| > М, т. е. N = 25;
если М = 200, то при n > 600 − 5 = 595 справедливо неравенство |xn| > М, т. e. N = 595.
Здесь учащихся нужно подвести к выводу: если в качестве М выбрать сколь угодно большое положительное число, то по формуле N = 3М − 5 мы всегда найдем такое число N, что из неравенства п > N следует неравенство |xn| > М.
е) Это задание сложнее предыдущего. Здесь неравенство |xn| > М надо решать, считая, что п > 3 (так как n→+∞ ). Тогда неравенство |xn| > М равносильно неравенству п2 − Мп − 9 > 0, решая которое получим, что n> M+ M 2 +36 2 (решения n< M– M 2 +36 2 не удовлетворяют условию п > 3).
Если в качестве числа N взять M+ M 2 +36 2 , то для любого М > 0 выполнено условие п > 3 и из неравенства п > N следует неравенство |xn| > М.
В качестве примера удобно взять М = 8, тогда N = 9; если взять М = 10, то п > 10,8..., т. е. N = 10; если взять М = 20, то n > 20,4..., т. е. N = 20.
|
