Основное содержание этого пункта связано с введением понятия степени с иррациональным показателем. Сначала разъясняется, что понимается под числом 3 2 , затем — что понимается под числом a α , где a>0, a≠1, α — иррациональное число. Наконец, делается вывод, что определена любая действительная степень положительного числа. Более подробно этот вопрос можно разъяснять так. Рассмотрим 5 случаев. 1) Если a>0, α>0 , то стремящейся к α неубывающей последовательности рациональных чисел r 1 , r 2 , …, r k , … — десятичных приближений числа α с недостатком, где r1 = [α], соответствует неубывающая последовательность a r 1 , a r 2 , …, a r k , … степеней числа а, ограниченная сверху числом a r 1 +1 . По теореме 1 (п. 4.6) эта последовательность имеет предел. Под числом aα и понимают этот предел. 2) Если 0<a<1, α<0 , то стремящейся к α неубывающей последовательности рациональных чисел r 1 , r 2 , …, r k , … — десятичных приближений числа α с недостатком, где r1 = [α], соответствует невозрастающая последовательность a r 1 , a r 2 , …, a r k , … степеней числа а, ограниченная снизу числом a r 1 +1 . По теореме 2 (п. 4.6) эта последовательность имеет предел. Под числом aα и понимают этот предел. 3) Если a>1, α<0 , то стремящейся к α невозрастающей последовательности рациональных чисел r 1 , r 2 , …, r k , … — десятичных приближений числа α с избытком, где r1 = [α], соответствует невозрастающая последовательность a r 1 , a r 2 , …, a r k , … степеней числа а, ограниченная снизу числом a r 1 −1 . По теореме 2 (п. 4.6) эта последовательность имеет предел. Под числом aα и понимают этот предел. 4) Если 0<a<1, α<0 , то стремящейся к α невозрастающей последовательности рациональных чисел r 1 , r 2 , …, r k , … — десятичных приближений числа α с избытком, где r1 = [α], соответствует неубывающая последовательность a r 1 , a r 2 , …, a r k , … степеней числа а, ограниченная сверху числом a r 1 −1 . По теореме 1 (п. 4.6) эта последовательность имеет предел. Под числом aα и понимают этот предел. 5) Если a = 1 и α — иррациональное число, то стремящейся к α последовательности рациональных чисел r 1 , r 2 , …, r k , … — десятичных приближений числа α соответствует последовательность чисел 1 r 1 , 1 r 2 , …, 1 r k , … , состоящая из одних единиц, так как 1r = 1 для любого рационального числа r. Эта последовательность имеет предел, равный 1, т. е. 1 α =1 . Можно доказать, что стремящуюся к α последовательность рациональных чисел r 1 , r 2 , …, r n , … можно выбрать любым способом (не обязательно так, как в рассмотренных случаях), все равно последовательность a r 1 , a r 2 , …, a r n , … будет иметь предел и этот предел не зависит от выбора последовательности r 1 , r 2 , …, r n , … . Стоит еще раз отметить, что 0 α =0 при любом α>0 , а записи 0 0 и 0 −α ( α>0 ) не имеют смысла. Без доказательства в учебнике приведены 5 свойств степени с действительным показателем. Некоторые из них будут использоваться при выполнении задания 4.51.
Решения и комментарии
4.49. Между какими двумя соседними натуральными числами заключено число 2 2 ? Так как 1< 2 <2 , то 2 1 < 2 2 < 2 2 , т. е. 2< 2 2 <4 . Но правое неравенство можно уточнить. Так как 1,4< 2 <1,5 , то 2 2 < 2 1,5 . Так как 2 1,5 =2 2 =2,8…<3 , то 2 2 <3 . Итак, 2< 2 2 <3 . 4.50. Постройте неубывающую последовательность, пределом которой является число 2 π ( π=3,1415926… ) . Ответ. 2 3 , 2 3,1 , 2 3,14 , 2 3,141 , 2 3,1415 , … . Дополнительный вопрос. Почему построенная последовательность является неубывающей, а не строго возрастающей? Ответ. Потому что в каком-то разряде числа π может встретиться цифра 0, тогда два соседних члена последовательности окажутся равными. 4.51. а) Вычислите 2 3 ⋅ 2 2− 3 . Решение. Преобразуем произведение, используя свойство 1 степени:
2 3 ⋅ 2 2− 3 = 2 3 +2− 3 = 2 2 =4 . |