В данном пункте введены понятия равновозможных событий, единственно возможных событий, случая, достоверного события, невозможного события, несовместных событий, вероятности события.
Решения и комментарии
12.2. Бросают игральную кость. Являются ли события А — «выпадание шести очков» и В — «выпадание четного числа очков» равновозможными, единственно возможными?
Решение. События А и В не являются равновозможными, так как событию А благоприятствует один случай (выпадет 6 очков), а событию В — три (выпадет 2, 4, 6 очков). События А и В не являются и единственно возможными, так как, кроме событий А и В, может произойти, например, и событие С — выпадет 5 очков.
12.4. Бросают две монеты. Рассмотрим два события: А — «выпали два орла»; В — «выпала решка» (хотя бы на одной монете). Являются ли события А и В:
а) равновозможными; б) несовместными?
Решение. Для большей наглядности будем считать, что монеты разные — большая и маленькая, всего возможны 4 случая: выпадут два орла (Оо), две решки (Рр), орел на большой монете, решка на маленькой (Ор), решка на большой монете, орел на маленькой монете (Ро).
а) События А и В не являются равновозможными, так как событию А благоприятствует один случай (Оо), а событию В — три (Рр, Ор, Ро).
б) События А и В являются несовместными, так как они не могут произойти одновременно в одном опыте.
12.8. При игре в лото используются фишки с номерами от 1 до 90. Наудачу вынимается одна фишка. Какова вероятность события:
а) А — «номер вынутой фишки делится на 10»;
б) В — «номер вынутой фишки делится и на 5, и на 9»;
в) С — «номер вынутой фишки меньше 100»;
г) D — «номер вынутой фишки 77»?
Решение. а) Событию А благоприятствуют 9 случаев: будут вынуты фишки с номерами 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. P( A )=10:90=0,1 .
б) Событию В благоприятствуют 2 случая: будут вынуты фишки с номерами 45, 90. P( B )=2:90= 1 45 .
в) Событию С благоприятствуют 90 случаев: будут вынуты фишки с номерами от 1 до 90. P( C )=90:90=1 .
г) Событию D благоприятствует 1 случай: будет вынута фишка с номером 77. P( D )=1:90= 1 90 .
12.10. а) Я задумал двузначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
б) Я задумал двузначное число, записанное разными цифрами. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
Решение. а) Всех двузначных чисел 99−9=90 . Вероятность угадать одно из них с первого раза равна 1 90 .
б) Из 90 двузначных чисел 90−9=81 записаны разными цифрами. Вероятность угадать такое число с первого раза равна 1 81 .
12.11. Ученик задумал натуральное число, не превышающее 100. Какова вероятность того, что это число: а) четное; б) делится на 4; в) делится на 10; г) при делении на 10 дает остаток 7?
Решение. Из первых 100 натуральных чисел 50 четных, 25 делящихся на 4, 10 делящихся на 10, 10 дающих при делении на 10 остаток 7, поэтому искомая вероятность равна:
а) 50:100=0,5 ;
б) 25:100=0,25 ;
в) 10:100=0,1 ;
г) 10:100=0,1 .
12.12. Используя некоторые из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, записали четырехзначное число. Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
Решение. Таких четырехзначных чисел A 5 4 =5⋅4⋅3⋅2=120 , поэтому искомая вероятность равна 1:120= 1 120 .
12.13. Четырехзначное число записали, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 (цифры числа могут быть одинаковые). Какова вероятность того, что вы угадаете это число с первого раза?
Решение. Таких четырехзначных чисел 5⋅5⋅5⋅5=625 , поэтому искомая вероятность равна 1:625= 1 625 .
12.14. Один игрок записал четырехзначное число, используя различные цифры, кроме 0. Какова вероятность того, что второй игрок угадает это число с первого раза?
Решение. Таких четырехзначных чисел A 9 4 =9⋅8⋅7⋅6=3024 , поэтому искомая вероятность равна 1:3024= 1 3024 .
12.16. В ящике лежат 6 белых и 8 черных шаров — из них 2 белых и 3 черных шара помечены звездочками. Из ящика наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что будет вынут белый шар со звездочкой?
Решение. Вероятность вынуть любой из двух белых шаров со звездочкой равна 2:( 6+8 )= 1 7 .
12.17. Четыре футбольные команды K 1 , K 2 , K 3 , K 4 вышли в полуфинал мирового первенства. Специалисты считают, что их силы примерно равны. Какова вероятность события:
а) А — «команды K 1 и K 2 выйдут в финал»;
б) В — «команда K 1 получит „золото", а команда K 2 — „серебро"»;
в) С — «команды заняли места с первого по четвертое в указанном порядке: K 4 , K 1 , K 3 , K 2 »?
Решение. а) В финал может выйти любая пара команд: 1) K 1 и K 2 ; 2) K 1 и K 3 ; 3) K 1 и K 4 ; 4) K 2 и K 3 ; 5) K 2 и K 4 ; 6) K 3 и K 4 . Событию А благоприятствует 1 случай из 6, поэтому P( A )= 1 6 .
б) В каждом из рассмотренных 6 случаев (задание «а») имеется два способа распределить «золото» и «серебро». Событию В благоприятствует 1 случай из 12, поэтому P( B )= 1 12 .
в) Так как распределение мест с 1-го по 4-е возможно P 4 =4⋅3⋅2⋅1=24 способами, то событию С благоприятствует 1 случай из 24, поэтому P( C )= 1 24 .
|
