В этом пункте доказаны три формулы:
sin α cos β= 1 2 ( sin ( α+β )+sin ( α−β ) ) ,
cos α cos β= 1 2 ( cos ( α+β )+cos ( α−β ) ) ,
sin α sin β= 1 2 ( cos ( α−β )−cos ( α+β ) ) .
Эти формулы относятся к таким, которые проще вывести заново, если они не запомнились надежно. И здесь запоминанию формул способствует опора на чередование функций для синуса суммы или разности двух углов, косинуса суммы или разности двух углов.
Решения и комментарии
9.65. а) Преобразуйте в сумму или в разность cos 3α cos α .
Решение. cos 3α cos α= 1 2 ( cos ( 3α+α )+cos ( 3α−α ) )= 1 2 ( cos 4α+cos 2α )= 1 2 cos 4α+ 1 2 cos 2α.
9.66. а) Докажите, что
sin 9π 28 cos 5π 28 −sin 6π 35 cos π 35 = 1 2 − 1 2 sin π 5 .
Доказательство.
sin 9π 28 cos 5π 28 −sin 6π 35 cos π 35 = 1 2 ( sin ( 9π 28 + 5π 28 )+sin ( 9π 28 − 5π 28 ) )−
− 1 2 ( sin ( 6π 35 + π 35 )+sin ( 6π 35 − π 35 ) )= 1 2 ( sin π 2 +sin π 7 )− − 1 2 ( sin π 5 +sin π 7 )= 1 2 − 1 2 sin π 5 ,
что и требовалось доказать.
Докажите, что если α, β, γ — углы треугольника, то выполняется равенство (9.69—9.71):
9.69. а) 4cos α 2 cos β 2 cos γ 2 =sin α+sin β+sin γ .
Доказательство. Преобразуем правую часть равенства, учитывая, что γ=180°−( α+β ) :
sin α+sin β+sin γ=sin α+sin β+sin ( 180°−( α+β ) )= =2sin α+β 2 cos α−β 2 +sin ( α+β )= =2sin α+β 2 cos α−β 2 +2sin α+β 2 cos α+β 2 = =2sin α+β 2 ( cos α−β 2 +cos α+β 2 )= =2sin 180°−γ 2 ⋅2cos α 2 cos β 2 =4sin ( 90°− γ 2 )⋅cos α 2 cos β 2 = =4cos α 2 cos β 2 cos γ 2 ,
что и требовалось доказать.
9.70. а) sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 γ=2+2cos α cos β cos γ .
Доказательство. Сначала преобразуем отдельно левую (А) и правую (В) части доказываемого равенства, учитывая, что γ=180°−( α+β ) .
A= sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 γ= sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 ( 180°−( α+β ) )= = sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 ( α+β )= sin 2 α+ sin 2 β+ ( sin α cos β+sin β cos α ) 2 = = sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 α cos 2 β+2sin α cos α sin β cos β+ sin 2 β cos 2 α. B=2+2cos α cos β cos γ=2+2 cos α cos β cos ( 180°−( α+β ) )= =2−2cos α cos βcos ( α+β )=2−2cos α cos β( cos α cos β−sin α sin β )= =2−2 cos 2 α cos 2 β+2sin α sin β cos α cos β= =2− cos 2 α( 1− sin 2 β )−( 1− sin 2 α ) cos 2 β+2sin α sin βcos α cos β= =2− cos 2 α+ sin 2 β cos 2 α− cos 2 β+ sin 2 α cos 2 β+2sin α sin β cos α cos β= = sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 α cos 2 β+2sin α cos α sin β cos β+ sin 2 β cos 2 α.
Таким образом, A = B, что и требовалось доказать.
9.71. а) sin 2α+sin 2β+sin 2γ=4sin α sin β sin γ .
Доказательство. Преобразуем левую часть доказываемого равенства, учитывая, что γ=180°−( α+β ) .
sin 2α+sin 2β+sin 2γ= =2sin ( α+β )cos ( α−β )+2sin γcos γ= =2sin ( 180°−γ )cos ( α−β )+2sin γcos ( 180°−( α+β ) )= =2sin γcos ( α−β )−2sin γcos ( α+β )= =2sin γ( cos ( α−β )−cos ( α+β ) )= =2sin γ( −2sin α−β−α−β 2 sin α−β+α+β 2 )= =4sin α sin βsin γ,
что и требовалось доказать.
Промежуточный контроль. С—36.
| 