Простейшими логарифмическими неравенствами названы неравенства вида log a x>b и log a x<b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике доказана равносильность неравенств:
log a x> log a x 0 и x> x 0 для a>1 ;
log a x> log a x 0 и 0<x< x 0 для 0< a<1 ;
log a x< log a x 0 и 0<x< x 0 для a>1 ;
log a x< log a x 0 и x> x 0 для 0< a<1 .
Другими словами, найдены решения простейших логарифмических неравенств.
Решения и комментарии
6.42. а) Решите неравенство log 2 x+ log 4 x+ log 16 x>3,5 .
Решение. Так как log 4 x= log 2 x log 2 4 = log 2 x 2 = 1 2 log 2 x ,
a log 16 x= log 2 x log 2 16 = log 2 x 4 = 1 4 log 2 x , то исходное неравенство можно переписать в виде ( 1+ 1 2 + 1 4 ) log 2 x>3,5 или в виде
log 2 x> log 2 4 . (1)
Неравенство (1), а значит, и равносильное ему исходное неравенство имеют решения: все x>4 .
6.44. а) Решите неравенство log 2 x+ log 3 x< log 3 6 .
Решение. Так как
log 2 x+ log 3 x= log 3 x log 3 2 + log 3 x= log 3 x( 1 log 3 2 +1 )= 1+ log 3 2 log 3 2 ⋅ log 3 x= log 3 6 log 3 2 ⋅ log 3 x ,
то исходное неравенство можно переписать в виде
log 3 6 log 3 2 ⋅ log 3 x< log 3 6 . (2)
Умножив неравенство (2) на положительное число log 3 2 log 3 6 , получим равносильное ему неравенство
log 3 x< log 3 2 ,
все решения которого, а значит, и равносильного ему исходного неравенства составляют промежуток 0<x<2 . | 