Простейшими логарифмическими уравнениями названы уравнения вида log a x=b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике приведены три примера решения простейших логарифмических уравнений и два примера решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим уравнениям.
Решения и комментарии
6.11. а) Решите уравнение log 2 ( log 2 x )=1 .
Решение. Хотя идея замены неизвестного при решении логарифмических уравнений будет изучаться в следующем пункте, здесь имеется возможность подготовить учащихся к использованию этой идеи.
Не делая формально замены t= log 2 x , можно заметить, что логарифм по основанию 2 некоторого числа равен 1 тогда и только тогда, когда это число равно 2. Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению
log 2 x=2 . (1)
Так как уравнение (1) имеет единственный корень x 1 =4 , то и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
6.12. Решите уравнение:
a) log 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7 ;
в) 2 log 2 ( log 2 x )+ log 0,5 ( log 2 x )=1 .
Решение. а) Так как log 4 x= log 2 x log 2 4 = log 2 x 2 = 1 2 log 2 x
и log 16 x= log 2 x log 2 16 = log 2 x 4 = 1 4 log 2 x , то исходное уравнение можно переписать в виде
( 1 4 + 1 2 +1 ) log 2 x=7 . (2)
Уравнение (2) равносильно уравнению
log 2 x=4 ,
имеющему единственный корень x 1 =16 . Следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
в) Так как
log 0,5 ( log 2 x )= log 2 ( log 2 x ) log 2 0,5 = log 2 ( log 2 x ) −1 =− log 2 ( log 2 x ) ,
то исходное уравнение можно переписать в виде
log 2 ( log 2 x )=1 . (3)
Уравнение (3) имеет единственный корень x 1 =4 (см. задание 6.11a). Следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
6.14. а) Решите уравнение log 2 x+ log 3 x= log 3 6 .
Решение. Так как log 2 x= log 3 x log 3 2 , то исходное уравнение можно переписать в виде
log 3 x log 3 2 + log 3 x= log 3 6 . (4)
Так как
log 3 x log 3 2 + log 3 x=( 1 log 3 2 +1 ) log 3 x= 1+ log 3 2 log 3 2 log 3 x= log 3 6 log 3 2 log 3 x ,
то уравнение (4) можно переписать в виде
log 3 6 log 3 2 log 3 x= log 3 6 . (5)
Так как log 3 6 log 3 2 ≠0 , то, разделив обе части уравнения (5) на число log 3 6 log 3 2 , получим уравнение
log 3 x= log 3 2 , (6)
равносильное исходному. Так как уравнение (6) имеет единственный корень x 1 =2 , то и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
6.15. а) Решите уравнение
log 2 2 x+5 log 3 x log 4 x+ log 5 2 x=0 .
Решение. Пользуясь формулой перехода к новому основанию, преобразуем левую часть исходного уравнения, получим равносильное ему уравнение:
log 2 2 x+ 5 log 2 2 x log 2 3⋅ log 2 4 + log 2 2 x log 2 2 5 =0 . (7)
Перепишем уравнение (7) в виде
log 2 2 x( 1+ 5 log 2 3⋅ log 2 4 + 1 log 2 2 5 )=0 . (8)
Так как число, записанное в скобках, отлично от нуля, то уравнение (8) равносильно уравнению
log 2 2 x=0 , (9)
имеющему единственный корень x1 = 1. Следовательно, исходное уравнение, равносильное уравнению (9), имеет тот же корень.
| 