В данном пункте учебника рассмотрены неравенства sin x>a, sin x<a, cos x>a, cos x<a . Приведены их решения в общем виде и для конкретных значений а. Опираясь на рисунки учебника с графиками функций y=sin x и y=cos x , надо показать, как читаются промежутки решений (слева направо). Полезно показать и второй способ получения тех же ответов с помощью единичной окружности, читая промежутки от меньшего числа к большему против часовой стрелки. Далее для нескольких неравенств показаны оба способа решения тригонометрических неравенств.
Решения и комментарии
11.34. Решите неравенство: а) sin x> 1 2 ; ж) sin x< 1 2 . Решение. I способ. В системе координат хОу построим графики функций y=sin x и y= 1 2 , отметим точки пересечения графиков (рис. 61). На оси Ох им соответствуют точки π 6 , 5π 6 , 13π 6 и т. д.
а) Все точки графика y=sin x , расположенные выше прямой y= 1 2 , соответствуют таким значениям x, для которых sin x> 1 2 . Эти точки графика выделены жирной линией, а соответствующие им промежутки значений x, являющиеся решениями неравенства sin x> 1 2 , выделены штриховкой (см. рис. 61). Эти решения составляют серию промежутков ( π 6 +2πn; 5π 6 +2πn ), n∈ N.
ж) Все точки графика y=sin x , расположенные ниже прямой y= 1 2 , соответствуют таким значениям х, для которых sin x< 1 2 . Эти точки графика изображены тонкой линией, а соответствующие им промежутки значений х, являющиеся решениями неравенства sin x< 1 2 , не выделены штриховкой (см. рис. 61). Эти решения составляют серию промежутков ( 5π 6 +2πn; 13π 6 +2πn ), n∈ N. II способ. В системе координат uOυ построим единичную окружность, на которой отметим две точки, соответствующие углам x, для которых sin x= 1 2 . Они получатся на пересечении прямой υ= 1 2 и единичной окружности. а) Все точки, расположенные выше прямой υ= 1 2 , соответствуют углам х, для которых sin x> 1 2 (эти точки выделены жирной линией на рисунке 62). Поэтому все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( π 6 +2πn; 5π 6 +2πn ), n∈ Z.
ж) Все точки, расположенные ниже прямой υ= 1 2 , соответствуют углам x, для которых sin x< 1 2 (эти точки выделены жирной линией на рисунке 63). Поэтому все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( 5π 6 +2πn; 13π 6 +2πn ), n∈ Z. 11.37. Решите неравенство: а) cos x> 3 4 ; г) cos x< 3 4 . Решение. I способ. Построим в системе координат хОу графики функций y=cos x и y= 3 4 , отметим точки пересечения графиков (рис. 64). На оси Ох им соответствуют точки α 0 =arccos 3 4 , α 1 =−arccos 3 4 , α 2 =2π−arccos 3 4 и т. д.
а) Все точки графика y=cos x , расположенные выше прямой y= 3 4 , соответствуют таким значениям x, для которых cos x> 3 4 . Эти точки графика выделены жирной линией, а соответствующие им промежутки значений х, являющиеся решениями неравенства cos x> 3 4 , выделены штриховкой (см. рис. 64). Эти решения составляют серию промежутков ( −arccos 3 4 +2πn; arccos 3 4 +2πn ), n∈ Z. г) Все точки графика y=cos x , расположенные ниже прямой y= 3 4 , соответствуют таким значениям х, для которых cos x< 3 4 . Эти точки графика изображены тонкой линией, а соответствующие им промежутки значений х, являющиеся решениями неравенства cos x< 3 4 , не выделены штриховкой (см. рис. 64). Эти решения составляют серию промежутков ( arccos 3 4 +2πn; 2πn−arccos 3 4 +2πn ), n∈ Z.
II способ. В системе координат uOυ построим единичную окружность, на которой отметим две точки, соответствующие углам х, для которых cos x= 3 4 . Они получатся на пересечении прямой u= 3 4 и единичной окружности. а) Все точки, расположенные правее прямой u= 3 4 , соответствуют углам x, для которых cos x> 3 4 . Поэтому все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( −arccos 3 4 +2πn; arccos 3 4 +2πn ), n∈ Z (рис. 65).
г) Все точки, расположенные левее прямой u= 3 4 , соответствуют углам х, для которых cos x< 3 4 . Поэтому все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( arccos 3 4 +2πn; 2πn−arccos 3 4 +2πn ), n∈ Z (рис. 66).
Замечание. Характерная ошибка учащихся при решении тригонометрических неравенств заключается в том, что при чтении промежутков они не соблюдают главного требования: промежутки читаются от меньшего числа к большему (т. е. на окружности против часовой стрелки). Чтобы избегать таких ошибок, нужно для каждого неравенства делать свой рисунок (см. рис. 62 и 63, рис. 65 и 66).