В данном пункте учебника рассмотрены неравенства tg x>a, tg x<a, ctg x>a, ctg x<a . Опираясь на рисунки учебника с графиками функций y=tg x и y=ctg x , надо показать, как читаются промежутки решений (слева направо), потом показать, как те же ответы можно получать с помощью единичной окружности, читая промежутки от меньшего числа к большему против часовой стрелки.
Решения и комментарии
11.39. Решите неравенство: а) tg x>1 ; ж) tg x<1 . Решение. I способ. В системе координат хОу построим графики функций y=tg x и y=1 , отметим точки пересечения графиков (рис. 67). На оси Ох им соответствуют точки π 4 ; 5π 4 и др. а) Все точки графика y=tg x , расположенные выше прямой y=1 , соответствуют значениям x, для которых tg x>1 . Эти точки графика выделены жирной линией, а соответствующие им промежутки значений x, являющиеся решениями неравенства tg x>1 , выделены штриховкой (см. рис. 67). Эти решения составляют серию промежутков ( π 4 +πn; π 2 +πn ), n∈ Z. ж) Все точки графика y=tg x , расположенные ниже прямой y=1 , соответствуют значениям x, для которых tg x<1 . Эти точки графика изображены тонкой линией, а соответствующие им промежутки значений x, являющиеся решениями неравенства tg x<1 , не выделены штриховкой (см. рис. 67). Эти решения составляют серию промежутков ( − π 2 +πn; π 4 +πn ), n∈ Z.
II способ. В системе координат uOυ построим единичную окружность, на которой отметим две точки, соответствующие углам х, для которых tg x=1 . Они получатся на пересечении единичной окружности и прямой, проходящей через начало координат и точку 1 оси тангенсов. а) Все точки единичной окружности, соответствующие углам х, для которых tg x > 1, выделены жирной линией. Все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( π 4 +πn; π 2 +πn ), n∈ Z (рис. 68).
ж) Все точки единичной окружности, соответствующие углам х, для которых tg x<1 , выделены жирной линией. Все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( − π 2 +πn; π 4 +πn ), n∈ Z (рис. 69).
11.42. Решите неравенство: а) ctg x>2 ; г) ctg x<2 . Решение. I способ. а) В системе координат хОу построим графики функций y=ctg x и y=2 , отметим точки пересечения графиков (рис. 70). На оси Ох им соответствуют точки α 0 =arcctg 2 , α 1 =arcctg 2+π и др. Все точки графика y=ctg x , расположенные выше прямой y=2 , соответствуют значениям х, для которых ctg x>2 . Эти точки графика выделены жирной линией, а соответствующие им промежутки значений х, являющиеся решениями неравенства ctg x>2 , выделены штриховкой (см. рис. 70). Эти решения составляют серию промежутков ( πn; arcctg 2+π ), n∈ Z. г) Все точки графика y=ctg x , расположенные ниже прямой y=2 , соответствуют значениям х, для которых ctg x<2 . Эти точки графика изображены тонкой линией, а соответствующие им промежутки значений х, являющиеся решениями неравенства ctg x<2 , не выделены штриховкой (см. рис. 70). Эти решения составляют серию промежутков ( arcctg 2+πn; π+πn ), n∈ Z.
II способ. В системе координат uOυ построим единичную окружность, на которой отметим две точки, соответствующие углам x, для которых ctg x=2 . Они получатся на пересечении единичной окружности и прямой, проходящей через начало координат и точку 2 оси котангенсов. а) Все точки единичной окружности, соответствующие углам х, для которых ctg x>2 , выделены жирной линией. Все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( πn; arcctg 2+πn ), n∈ Z (рис. 71).
г) Все точки единичной окружности, соответствующие углам х, для которых ctg x<2 , выделены жирной линией. Все решения исходного неравенства составляют серию промежутков ( arcctg 2+πn; π+πn ), n∈ Z (рис. 72).
