Простейшими показательными неравенствами названы неравенства вида a x >b и a x <b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике найдены решения простейших показательных неравенств a x > a x 0 и a x < a x 0 . А именно, в учебнике доказана равносильность неравенств:
a x > a x 0 и x> x 0 при a>1 ;
(1)
a x > a x 0 и x< x 0 при 0<a<1 ;
(2)
a x < a x 0 и x< x 0 при a>1 ;
(3)
a x < a x 0 и x> x 0 при 0<a<1 .
(4)
Наряду с приведенным в учебнике доказательством для доказательства, например, равносильности неравенств (1) можно рассуждать и так.
Пусть число x 1 — любое решение неравенства x> x 0 , тогда справедливо числовое неравенство x 1 > x 0 и из возрастания функции y= a x ( a>1 ) следует справедливость числового неравенства a x 1 > a x 0 . Но это означает, что любое решение неравенства x> x 0 является решением неравенства a x > a x 0 .
Пусть теперь число x 1 — любое решение неравенства a x > a x 0 ( a>1 ) , тогда справедливо числовое неравенство a x 1 > a x 0 . Докажем, что тогда x 1 > x 0 . Доказательство проведем от противного.
Предположим, что x 1 = x 0 , тогда a x 1 = a x 0 , что противоречит условию a x 1 > a x 0 . Значит, это предположение неверно.
Предположим, что x 1 < x 0 , тогда из возрастания функции y= a x ( a>1 ) следует справедливость числового неравенства a x 1 < a x 0 , что противоречит условию a x 1 > a x 0 . Значит, это предположение неверно.
Для чисел x 1 и x 0 возможно только одно из трех соотношений x 1 = x 0 , x 1 < x 0 и x 1 > x 0 (п. 1.2). Поэтому, если неверно, что x 1 = x 0 и x 1 < x 0 , то x 1 > x 0 . Но это означает, что любое решение неравенства a x > a x 0 является решением неравенства x> x 0 .
Следовательно, неравенства a x > a x 0 и x> x 0 равносильны при a>1 .
Равносильность неравенств (2) — (4) доказывается аналогично.
Решения и комментарии
6.34. а) Решите неравенство 2 x+2 + 2 x >20 .
Решение. Перепишем исходное неравенство в виде
2 x ( 2 2 +1 )>20
или в виде
2 x > 2 2 . (5)
Решениями неравенства (5), а значит, и исходного неравенства являются все x>2 .
6.35. е) Решите неравенство 625⋅ 3 x −81⋅ 5 x <0 .
Решение. Это однородное показательное неравенство первой степени. Разделив его на 625⋅ 5 x и перенеся второе слагаемое в правую часть неравенства, перепишем исходное неравенство в виде
( 3 5 ) x < ( 3 5 ) 4 . (6)
Так как 0< 3 5 <1 , то решениями неравенства (6), а значит, и равносильного ему исходного неравенства являются все x>4 . | 