Простейшими показательными уравнениями названы уравнения вида a x =b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике приведены три примера решения простейших показательных уравнений и два примера решения показательных уравнений, сводящихся к простейшим уравнениям.
Решения и комментарии
6.7. а ) Решите уравнение
3 x =4 . (1)
Решение. Так как 4>0 , то уравнение (1) имеет единственный корень x 1 = log 3 4 .
6.8. а) Решите уравнение
9⋅ 5 x −25⋅ 3 x =0 . (2)
Решение. Уравнение (2) является однородным показательным уравнением первой степени. Так как 3 x ≠0 , то уравнение (2) можно переписать в виде 3 x ( ( 5 3 ) x − 25 9 )=0 , откуда следует, что уравнение (2) равносильно уравнению
( 5 3 ) x − 25 9 =0 , (3)
имеющему единственный корень x 1 =2 . Следовательно, уравнение (2) имеет единственный корень x 1 =2 .
Замечание. Обычно переход от уравнения (2) к равносильному ему уравнению (3) осуществляют делением уравнения (2) на выражение 9⋅ 3 x , отличное от нуля при любом x. Именно таким способом будем решать в дальнейшем однородные показательные уравнения (и неравенства).
Дополнительное задание. Решите уравнение:
а) ( 1 2 +1 ) x =3−2 2 ; б) ( 2 3 +1 ) x + ( 3 −1 ) x =8−4 3 .
Решение. а) Пользуясь равенствами
1 2 +1 = 2 −1 2−1 = 2 −1 и 3−2 2 = ( 2 −1 ) 2 ,
перепишем исходное уравнение в виде
( 2 −1 ) x = ( 2 −1 ) 2 . (4)
Так как 2 −1>0 и 2 −1≠1 , то уравнение (4) и равносильное ему исходное уравнение имеют по единственному корню x 1 =2 .
б) Пользуясь равенствами
2 3 +1 = 2( 3 −1 ) 3−1 = 3 −1 и 8−4 3 =2( 4−2 3 )=2 ( 3 −1 ) 2 ,
перепишем исходное уравнение в виде
( 3 −1 ) x = ( 3 −1 ) 2 . (5)
Так как 3 −1>0 и 3 −1≠1 , то уравнение (5) и равносильное ему исходное уравнение имеют по единственному корню x 1 =2 .
| 