В данном пункте введены понятия основных тригонометрических функций ( y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x ) и простейшего тригонометрического уравнения, понятие серии решений, получены формулы для решения простейших тригонометрических уравнений sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a , приведены примеры применения этих формул.
Упражнения к данному пункту учащиеся уже решали ранее, но с другой постановкой задания, например: «Укажите все углы α , для которых справедливо равенство sin α=1 », теперь же требуется решить уравнение sin x=1 .
Обратим внимание на то, что в учебнике не ставится цель сразу написать общую формулу решений уравнения sin x=a ( | a |≤1 ) в виде x= ( −1 ) k arcsin a+πk, k∈ Z. Практика показывает, что раннее введение такой записи без должного понимания учащимися ее смысла, без объяснения «скрытого» в ней периода 2π приводит к механическому использованию этой записи с характерной ошибкой: ( −1 ) k arcsin a+2πk, k∈ Z.
Учитывая, что для многих заданий вполне достаточно давать ответ в виде двух серий решений, на первых порах можно не требовать от учащихся (особенно от слабых) записи ответа в сокращенном виде. А чтобы предупредить указанную выше ошибку, надо обязательно показать учащимся, что при k=2n или k=2n+1, n∈ Z, ответ будет иметь вид arcsin a+2πn, n∈ Z, или π−arcsin a+2πn, n∈ Z, соответственно.
Можно посоветовать учащимся не решать простейшее уравнение sin x=a по общим формулам в случаях a=0, a=1, a=−1 , мотивируя совет тем, что, например, общая формула для решений уравнения sin x=1 дает повторяющиеся решения. Если ответ записать в виде ( −1 ) k π 2 +πk, k∈ Z, то, давая k значения 0, 1, 2, 3, ..., получим решения π 2 , π 2 , 5π 2 , 5π 2 , … соответственно. Такие же повторы корней дают общие формулы для решений уравнений sin x=−1 , cos x=−1 .
Учащиеся, как правило, хорошо справляются с предлагаемыми заданиями, но учителю необходимо проследить, чтобы этот начальный этап обучения решению тригонометрических уравнений был освоен каждым учащимся. Проконтролировать умения учащихся решать простейшие тригонометрические уравнения можно с помощью самостоятельной работы С—39 из дидактических материалов.
Решения и комментарии
11.6. Решите уравнение: а) sin x= 5 4 ; б) cos x=− π 4 .
Решение. а) Так как 5 4 >1 , a sin x≤1 для каждого x∈ R, то уравнение sin x= 5 4 не имеет решений.
б) Так как −1≤− π 4 ≤1 , то уравнение cos x=− π 4 имеет две серии решений: x n =arccos ( − π 4 )+πn, n∈ Z; x k =arccos ( − π 4 )+πk, k∈ Z. Две серии решений x n и x k можно объединить в одну: x m =±arccos ( − π 4 )+πm, m∈ Z.
Заметим, что серии решений x n и x k можно выразить, употребляя одну букву, что часто делается для краткости ответов в учебнике. Использовать же формулу arccos ( −a )=π−arccos a на первых порах нецелесообразно. Это только усложнит запись ответа.
11.7. При каких значениях а имеет хотя бы одно решение уравнение:
а) sin x=a ; б) cos x=a ; в) tg x=a ; г) ctg x=a ?
Решение. а) Уравнение sin x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈[ −1; 1 ] .
б) Уравнение cos x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈[ −1; 1 ] .
в) Уравнение tg x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈ R.
г) Уравнение ctg x=a имеет хотя бы одно решение при каждом a∈ R.
Промежуточный контроль. С—39.
|
