В данном пункте применение метода интервалов для решения неравенств расширяется на случай, когда левая часть неравенства — алгебраическая дробь. Здесь рассматриваются лишь строгие неравенства, поэтому процедура решения неравенства практически повторяет процедуру, описанную в предыдущем пункте.
Дело в том, что знаки выражений А (x) · В (x) и A( x ) B( x ) совпадают для всех тех х, для которых В (x) — ненулевой многочлен, поэтому неравенства А (x) · В (x) > 0 и A( x ) B( x ) >0 (или A (x) · B (x) < 0 и A( x ) B( x ) <0 ) равносильны. Это обстоятельство позволяет заменять решение неравенства A( x ) B( x ) >0 (или A( x ) B( x ) <0 ) решением неравенства А(x) · В(x) > 0 (или А (x) · В (x) < 0).
Все учащиеся должны научиться решать неравенства, левая часть которых является алгебраической дробью, числитель и знаменатель которой содержат произведения различных двучленов. И здесь более сложный случай применения метода интервалов связан с наличием одинаковых двучленов.
Решения и комментарии
2.77. б) Решите неравенство x 2 −9 ( x+3 )( x−1 ) >0 .
Решение. Разложив числитель алгебраической дроби в левой части исходного неравенства на множители, перепишем неравенство в виде
( x−3 )( x+3 ) ( x+3 )( x−1 ) >0 (1)
Решим неравенство
(x − 3)(x − 1)(х + 3)2 > 0, (2)
равносильное неравенству (1).
Применяя к неравенству (2) общий метод интервалов (рис. 14), получим, что множество всех решений неравенства (2), а значит, и равносильного ему неравенства (1) есть объединение интервалов (−∞; −3), (−3; 1), (3; +∞).
Следовательно, все решения исходного неравенства составляют множество (−∞; −3) ∪ (−3; 1) ∪ (3; +∞).
Замечание. При решении неравенства (1) учащиеся иногда сокращают дробь, заменяя неравенство (1) неравносильным ему неравенством x−3 x−1 >0 , имеющим решением число – 3, которого не имеет неравенство (1), т. е. приобретают лишнее решение – 3. Чтобы избегать таких ошибок, учащиеся не должны сокращать дроби при решении неравенств.
2.79. а) Решите неравенство x 2 −6x+ 17 x 2 −6x+8 <0 .
Решение. Обозначив t = х2 − 6х + 8, перепишем исходное неравенство в виде
t 2 −8t+17 t <0 . (3)
Так как t2 − 8t + 17 = (t − 4)2 + 1 > 0 для каждого t, то все решения неравенства (3) есть все t < 0, следовательно, множество решений исходного неравенства есть множество решений неравенства
х2 − 6х + 8 < 0, т. е. множество (2; 4).
| 