В данном пункте повторяются известные из основной школы сведения о способах решения рациональных уравнений. Отметим некоторые особенности терминологии и способов оформления решения, принятых в учебнике.
Уравнение вида А (x) · В (x) = 0, где А (x) и В (x) — многочлены, называют распадающимся, множество его корней есть объединение множеств корней уравнений А (x) = 0 и В (x) = 0. При этом понятие совокупности уравнений и соответствующее обозначение пока не используются.
Уравнение вида A (x) B (x) =0 предлагается решать так: сначала решить уравнение А (x) = 0, затем отобрать из найденных чисел те, которые не обращают в нуль знаменатель В (x) дроби. Они и будут корнями уравнения A (x) B (x) =0 . При этом переход к системе { A (x)=0 B (x)≠0, равносильной данному уравнению, не используется, так как в учебниках тех же авторов для основной школы такие системы не рассматривались. Если же учащиеся учились по учебникам, в которых такие переходы уже выполнялись, то, объяснив учащимся, какое число называют решением такой системы, учитель может использовать и упомянутый переход.
После рассмотрения примера 3 из учебника можно сформулировать правило: для решения рационального уравнения надо перенести все его члены в левую часть, затем, применяя правила сложения и вычитания алгебраических дробей, записать левую часть как алгебраическую дробь и решить полученное уравнение.
Замечание. Отклонение от этого правила может привести к потере или к приобретению корней, посторонних для данного уравнения.
Пример. Решим уравнение
(x−2)(x−3) x−3 =1 . (1)
Решение. Применив данное правило к уравнению (1), получим равносильное ему уравнение
(x−3) 2 x−3 =0 . (2)
Оно не имеет корней. Следовательно, уравнение (1) тоже не имеет корней.
Однако если мы, отклоняясь от правила, сократили бы дробь в левой части уравнения (1) на x − 3, то получили бы уравнение
x − 2 = 1, (3)
которое имеет корень х = 3. Но х = 3 не является корнем уравнения (1) — при х = 3 левая часть уравнения (1) превращается в выражение, не имеющее смысла.
Следовательно, при таком «способе решения» мы приобрели лишний корень уравнения (1).
Если же сначала будет дано уравнение (3), а мы вопреки правилу умножим числитель и знаменатель дроби x−2 1 на ненулевой многочлен х − 3, то придем к уравнению (1), которое не имеет корней. Значит, при таком «способе решения» потерян корень уравнения (2).
При решении примера 4 (с. 68 учебника) показан достаточно сложный прием замены неизвестного. Другие приемы замены рассмотрены в п. 6 дидактических материалов.
Решения и комментарии
2.49. Решите уравнение, используя замену неизвестного:
в) (x2 − 2 x)2 − 2(x − 1)2 − 1 = 0;
ж) x+1 x−1 + 6x−6 x+1 −5=0 .
Решение. в) Сначала надо раскрыть вторые скобки в левой части уравнения:
(x2 − 2x)2 − 2(x2 − 2x + 1) − 1 = 0. (4)
Теперь, сделав замену неизвестного t = х2 − 2х, перепишем уравнение (4) в виде t2 − 2 (t + 1) − 1 = 0.
Это уравнение имеет два корня: t1 = −1 и t2 = 3. Объединив все корни двух уравнений х2 − 2х = −1 и х2 − 2х = 3, получим все корни исходного уравнения: x1 = 1, x2 = −1 и x3 = 3.
ж) Перепишем исходное уравнение в виде
x+1 x−1 + 6(x−1) x+1 −5=0 . (5)
Сделав замену неизвестного t= x+1 x−1 , перепишем уравнение (5) в виде
t+ 6 t −5=0 . (6)
Уравнение (6) имеет два корня: t1 = 2 и t2 = 3. Объединив все корни двух уравнений x+1 x−1 =2 и x+1 x−1 =3 , получим все корни исходного уравнения: х1 = 2 и х2 = 3.
2.52. Решите уравнение:
а) x x+a + x x−a =2 2 3 ;
б) x a + 1 ax−bx + b a 2 x−abx = 2 a−b ;
в) 2x x−b + 12 x 2 b 2 − x 2 = b−x x+b ;
г) x+a x−a + x−a x+a = a(3x+2a) x 2 − a 2 ,
где а и b — данные числа.
Решение. а) Перенеся все члены уравнения в левую часть и выполнив сложение алгебраических дробей, перепишем уравнение в виде
x 2 −4 a 2 x 2 − a 2 =0 .
Уравнение х2 − 4а2 = 0 имеет два корня: х1 = 2а, x2 = −2а.
Если а = 0, то эти корни совпадают, но тогда знаменатель дроби 4а2 − а2 равен нулю, т. е. при а = 0 исходное уравнение не имеет корней.
Если а ≠ 0, то для каждого из корней х1 и х2 знаменатель дроби 4а2 − а2 отличен от нуля, т. е. при а ≠ 0 исходное уравнение имеет два корня: 2а и −2а.
Итак, исходное уравнение не имеет корней, если а = 0; имеет два корня: х1 = −2а, x2 = 2а, если а ≠ 0.
б) Перенеся все члены уравнения в левую часть и выполнив сложение алгебраических дробей, перепишем уравнение в виде
(a−b) x 2 −2ax+a+b ax(a−b) =0 .
Если а (а − b) = 0, то это уравнение не имеет корней.
Если же а (а − b) ≠ 0, то уравнение (а − b)х2 − 2ах + а + b = 0 квадратное и имеет два корня: х1 = 1 и x 2 = a+b a−b . Очевидно, что для х1 условие ах1 (а − b) ≠ 0 выполняется для всех а и b, таких, что а (а − b) ≠ 0, а для x 2 = a+b a−b условие ах2 (а − b) ≠ 0 выполняется для всех а и b, таких, что а (а − b) ≠ 0 и (а + b) ≠ 0, т. е. при а (а − b) ≠ 0 и (а + b) ≠ 0 исходное уравнение имеет два корня x1 и х2. Если же а (а − b) ≠ 0 и а + b = 0, то ах2 (а − b) = 0, т. е. исходное уравнение имеет единственный корень x1 = 1.
Итак, исходное уравнение не имеет корней, если а = 0, b — любое число или если а = b; имеет два корня: х1 = 1, x 2 = a+b a−b , если а ≠ 0, а ≠ b, а ≠ −b; имеет единственный корень x1 = 1, если а ≠ 0, а = −b.
в) Перенеся все члены уравнения в левую часть и выполнив сложение алгебраических дробей, перепишем уравнение в виде
9 x 2 − b 2 x 2 − b 2 =0 .
Уравнение 9х2 − b2 = 0 имеет два корня: x 1 = b 3 , x 2 =− b 3 .
Если b = 0, то эти корни совпадают, но тогда знаменатель дроби b 2 9 − b 2 равен нулю, т. е. при b = 0 исходное уравнение не имеет корней.
Если b ≠ 0, то для каждого из корней х1 и х2 знаменатель дроби b 2 9 − b 2 отличен от нуля, т. е. при b ≠ 0 исходное уравнение имеет два корня: b 3 и − b 3 .
Итак, исходное уравнение не имеет корней, если b = 0; имеет два корня x 1 = b 3 , x 2 =− b 3 , если b ≠ 0.
г) Перенеся все члены уравнения в левую часть и выполнив сложение алгебраических дробей, перепишем уравнение в виде
2 x 2 −3ax x 2 − a 2 =0 .
Уравнение 2х2 − 3ах = 0 имеет два корня: х1 = 0 и х2 = 1,5а.
Если а = 0, то эти корни совпадают и равны нулю, но тогда знаменатель дроби равен нулю, т. е. при а = 0 исходное уравнение не имеет корней.
Если же а ≠ 0, то знаменатель дроби х2 − а2 отличен от нуля и для x= x1, и для x = x2, т. е. при а ≠ 0 исходное уравнение имеет два корня: 0 и 1,5а.
Итак, исходное уравнение не имеет корней, если а = 0; имеет два корня: x1 = 0, х2 = 1,5а, если а ≠ 0.
Промежуточный контроль. С—3, С—5, С—6.
|
