Сначала напомним старинное мнемоническое правило1, позволяющее воспроизводить первые десятичные знаки иррационального числа π . В следующей фразе число букв в каждом слове дает цифру десятичной записи числа π : «Кто, и шутя и скоро, стремится пи узнать — число уже готово». Получается π = 3,1415926536. При изучении данной темы обычно наблюдается недопонимание учащимися необходимости выражать радианную меру угла через число π. Чтобы снять всякие сомнения на этот счет, можно провести такое рассуждение. Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам в 1, 2, 3, 4, 5, 6 радиан. Для этого надо откладывать от точки А в направлении против часовой стрелки на окружности 1, 2, 3, 4, 5, 6 раз дугу, длина которой равна радиусу окружности. Так как длина окружности радиуса 1 равна 2π ≈ 6,28, то полный оборот содержит больше 6 радиан (рис. 24, а). Если продолжить откладывание в том же направлении на этой окружности дуг длиной в 1 радиус, то возникает иллюзия, что через некоторое (возможно, большое) число шагов новое деление на окружности, соответствующее углу в некоторое число радиан, совпадет с каким-нибудь из отмеченных ранее делений. Однако этого не произойдет, как бы долго мы ни продолжали откладывать в том же направлении эти дуги. Докажем это методом от противного. Предположим, что на п-м шаге мы отметили на окружности точку N, соответствующую углу в n радиан, n — натуральное число (рис. 24, б). Затем продолжили откладывание в том же направлении дуг длиной в 1 радиус и на каком-то шаге обнаружили, что точка, соответствующая углу в т радиан, совпала с уже отмеченной точкой N. Для этого пришлось сделать k( k≠0 ) полных оборотов.Тогда справедливо равенство m – n = 2kπ, k ∈ N, из которого следует, что π= m−n 2k . Получено противоречие: число π оказалось равным обыкновенной дроби. Но как известно, число π — иррациональное число, т. е. оно не может быть равным обыкновенной дроби. Следовательно, предположение, что на каком-то шаге новое деление, соответствующее углу в m радиан, совпадет со старым делением, соответствующим углу в n радиан (m и n — натуральные числа), неверно. Заметим, что в приведенном рассуждении мы нигде не пользовались тем, что m и n — натуральные числа, т. е. если точка N получена при откладывании p раз 1 q части дуги в 1 радиан, то она не может совпасть ни с какой другой точкой, полученной при откладывании r раз 1 s части дуги в 1 радиан ( p q ≠ r s , где p, q, r, s — натуральные числа). Такое рассуждение можно провести при решении задачи 7.39б. Теперь становится ясным, что при использовании радианной меры без числа π и его долей обойтись невозможно. На рисунке 24, в показаны точки, которые на рисунке 23, а соответствовали углам 90°, 180°, 270°, 360° . Теперь они соответствуют углам π 2 , π, 3π 2 , 2π радиан. Запоминанию этих углов (и следующих за ними) помогает считалочка: показывая точки на окружности, говорим: «Раз пи на два, два пи на два, три пи на два, ...». Аналогичный прием помогает при поиске точек, соответствующих углам π 4 , π 2 , 3π 4 , π, … радиан. Теперь, установив равенство: π радиан =180° — и разделив его сначала на π , потом на 180, получим соотношения, которые надо запомнить:1 радиан = 180° π ; π 180 радиан =1° . С их помощью можно переводить градусную меру в радианную и обратно. Например, 135°=135⋅1°=135⋅ π 180 радиан = 3π 4 радиан ; 5π 6 радиан = 5π 6 ⋅1 радиан = 5π 6 ⋅ 180° π =150° . В этих равенствах слово «радиан» обычно опускают и пишут коротко: 135°= 3π 4 , 5π 6 =150° . Решения и комментарии 7.22. Запишите в виде α+2πn , где п — некоторое целое число ( 0≤α<2π ) , следующие углы: а) 6,5π ; б) 9 2 π ; в) −12 1 3 π ; г) −17 1 6 π . Решение. а) 6,5π=0,5π+6π ; б) 9 2 π= 1 2 π+4π ; в) −12 1 3 π=1 2 3 π−14π ; г) −17 1 6 π= 5 6 π−18π . Промежуточный контроль. С—24, С—25. Эти работы рассчитаны на обучение «чтению» точек единичной окружности, соответствующих «табличным» углам, а также на подготовку учащихся к записи ответов при решении простейших тригонометрических уравнений. При выполнении самостоятельной работы С—25 учащиеся могут писать лишь правильные ответы, не делая пояснений, аналогичных тем, что имеются в п. 25 раздела I дидактических материалов.
|
