В данном пункте повторяются известные из основной школы сведения о способах решения систем рациональных уравнений. Здесь рассмотрены способ подстановки, способ сложения уравнений, применение замены неизвестных при решении систем уравнений, а также прием решения системы уравнений с двумя неизвестными, одно из уравнений которой однородное.
Решения и комментарии
2.57. Решите систему уравнений:
а) { y 2 −3xy=−2 x 2 +5xy=11; в) { x 2 −8y+31=0 y 2 −2x−14=0.
Решение. а) Сложив уравнения исходной системы, получим равносильную ей систему
{ y 2 −3xy=−2 ( x+y ) 2 =9. (1)
Все решения системы (1) получим, объединив все решения двух систем
{ y 2 −3xy=−2 x+y=3 и { y 2 −3xy=−2 x+y=−3.
Первая из этих систем имеет решения ( 11 4 ; 1 4 ) и (1; 2), а вторая — ( − 11 4 ; − 1 4 ) и ( −1; −2 ) . Следовательно, исходная система имеет четыре решения: ( 11 4 ; 1 4 ) , ( 1; 2 ) , ( − 11 4 ; − 1 4 ) , ( −1; −2 ) .
в) Сложив уравнения исходной системы, получим равносильную ей систему
{ x 2 −8y+31=0 ( x−1 ) 2 + ( y−4 ) 2 =0. (2)
Второе уравнение системы (2) имеет единственное решение (1; 4), которое является также решением первого уравнения этой системы. Следовательно, система (2) и равносильная ей исходная система имеют единственное решение (1; 4).
2.58. Решите систему уравнений:
а) { x x+3 + x+3 x = 17 4 x 2 −4xy+4 y 2 =0; в) { 2x+2y x−y − 3x−3y x+y =5 x 2 + y 2 =90;
д) { x 2 + y 2 =5 xy+x+y=5.
Решение. а) Сделав замену неизвестного t= x x+3 , найдем корни уравнения t+ 1 t = 17 4 , их два: t 1 = 1 4 и t2 = 4. Все корни первого уравнения исходной системы найдем, объединив корни двух уравнений x x+3 = 1 4 и x x+3 =4 . Первое имеет единственный корень x 1 =1 , а второе — единственный корень x 2 =−4 .
Подставляя х1, а затем х2 во второе уравнение исходной системы, получим, что y 1 = 1 2 , y 2 =−2 . Следовательно, исходная система имеет два решения: ( 1; 1 2 ) и ( −4; −2 ) .
в) Сделав замену неизвестного t= x+y x−y , найдем корни уравнения 2t− 3 t =5 , их два: t 1 =− 1 2 и t2 = 3. Все решения исходной системы найдем, объединив решения двух систем
{ x+y x−y =− 1 2 x 2 + y 2 =90 и { x+y x−y =3 x 2 + y 2 =90.
Первая из них имеет решения (3; − 9) и (− 3; 9), а вторая — ( 6 2 ;3 2 ) и ( −6 2 ;−3 2 ) . Следовательно, исходная система имеет четыре решения: (3; − 9), (− 3; 9), ( 6 2 ;3 2 ) и ( −6 2 ;−3 2 ) .
д) Умножив второе уравнение исходной системы на 2 и сложив полученное уравнение с первым уравнением системы, получим систему, равносильную исходной системе:
{ x 2 + y 2 =5 x 2 +2xy+ y 2 +2( x+y )=15.
Перепишем систему в виде
{ x 2 + y 2 =5 ( x+y ) 2 +2( x+y )=15.
Сделав замену неизвестных t = х + у, найдем корни уравнения t2 + 2t = 15, их два: t 1 =−5 и t 2 =3 . Все решения исходной системы найдем, объединив решения двух систем
{ x 2 + y 2 =5 x+y=−5 и { x 2 + y 2 =5 x+y=3.
Первая из них не имеет решений, а вторая имеет два решения: ( 1; 2 ) и ( 2; 1 ) .
Следовательно, исходная система имеет те же два решения: ( 1; 2 ) и ( 2; 1 ) .
Замечание. Ту же систему можно решить с помощью замены неизвестных и = х + у, υ = ху.
2.59. Решите систему уравнений:
а) { 9 x 2 −10xy+4 y 2 =3 2xy−3x+2y=1; ж) { x 2 + y 2 =1 x 3 + y 3 =−1.
Решение. а) С помощью замены неизвестных u = 3х − 2у, υ = xy перепишем исходную систему в виде
{ u 2 +2υ=3 2υ−u=1.
Эта система имеет два решения: u1 = 1, υ1 = 1 и u2 = −2, υ 2 =− 1 2 .
Все решения исходной системы найдем, объединив решения двух систем:
{ 3x−2y=1 xy=1 и { 3x−2y=−2 xy=− 1 2 .
Первая из них имеет два решения: (1; 1) и ( − 2 3 ;− 3 2 ) , а вторая не имеет решений. Следовательно, исходная система имеет те же два решения: (1; 1) и ( − 2 3 ;− 3 2 ) .
ж) С помощью замены неизвестных u=x+y , υ =ху перепишем исходную систему в виде
{ u 2 −2υ=1 u 3 −3uυ=−1. (3)
Из первого уравнения системы (3) получим, что υ= u 2 −1 2 ; подставив выражение u 2 −1 2 вместо υ во второе уравнение, перепишем систему (3) в виде
{ u 2 −2υ=1 u 3 − 3 u 3 −3u 2 +1=0. (4)
Второе уравнение системы равносильно уравнению u 3 −3u−2=0 , имеющему очевидный корень u 1 =−1 , другие корни этого уравнения получим, разложив его левую часть на множители: (и + 1)(и2 − и − 2) = 0. Найдя корни u2 = 2, u 3 =−1 уравнения u2 − u − 2 = 0 и учитывая, что u1 = u3, получим, что второе уравнение системы (4) имеет два различных корня: u 1 =−1 и u2 = 2.
Поэтому система (4) имеет два решения: u 1 =−1 , υ1 = 0 и и2 = 2, υ2 = 1,5. Все решения исходной системы найдем, объединив решения двух систем
{ x+y=−1 xy=0 и { x+y=2 xy=1,5.
Первая из них имеет решения ( 0; −1 ) и ( −1; 0 ) , а вторая не имеет решений.
Следовательно, исходная система имеет те же два решения: ( 0; −1 ) и ( −1; 0 ) . |
