В данном пункте учебника введены понятия независимых опытов, сложных опытов.
Решения и комментарии
14.11. Что более правдоподобно — выпадание, по крайней мере, одной шестерки при 4-кратном бросании игральной кости или выпадание, по крайней мере, пары шестерок при 24-кратном одновременном бросании двух костей?
Решение. Вероятность того, что при 4-кратном бросании одной кости шестерка не появляется, равна ( 5 6 ) 4 . Отсюда следует, что вероятность того, что при 4-кратном бросании одной кости шестерка появится хотя бы один раз, равна P 1 =1− ( 5 6 ) 4 ≈0,518 .
С другой стороны, вероятность того, что при одновременном бросании двух костей случится выпадание двух шестерок, равна 1 36 , не случится — 35 36 . Но тогда если этот опыт с бросанием двух костей повторить 24 раза, то вероятность того, что при этом появится хотя бы один раз пара шестерок, равна P 2 =1− ( 35 36 ) 4 ≈0,491 .
Так как P 1 > P 2 , то первое событие более правдоподобно (вероятнее) второго.
14.12. В каждом из двух ящиков лежат одинаковые шары двух цветов: белые и черные. Опыт заключается в том, что из каждого ящика не глядя берут по одному шару. Известно, что вероятность взять белый шар из первого ящика равна a (0 < a < 1), а вероятность взять белый шар из второго ящика равна b (0 < b < 1). Какова вероятность того, что в результате опыта будут вынуты: а) 2 белых шара; б) 2 черных шара; в) 1 белый шар и 1 черный шар?
Решение. Пусть события А и В заключаются во взятии белого шара из первой и второй урны соответственно. По условию задачи P( A )=a ; P( B )=b .
а) Нас интересует вероятность события АВ. Так как события А и В независимы, то P( AB )=P( A )⋅P( B )=ab .
б) Нас интересует вероятность события A ¯ B ¯ . Так как события A ¯ и B ¯ независимы и P( A ¯ )=1−P( A )=1−a , P( B ¯ )=1−P( B )=1−b , то
P( A ¯ B ¯ )=( 1−a )( 1−b )=1−a−b+ab .
в) Нас интересует вероятность события A ¯ B+A B ¯ . Так как события A ¯ B и A B ¯ несовместны, то P( A ¯ B+A B ¯ )=P( A ¯ B )+P( A B ¯ ) , а так как события A ¯ и В, А и B ¯ независимы, то
P( A ¯ B+A B ¯ )=P( A ¯ )P( B )+P( A )P( B ¯ )= =( 1−a )b+a( 1−b )=a+b−2ab.
| 