В данном пункте вводится понятие степени положительного числа а с рациональным показателем p q , где р — целое число, q — натуральное число, q≥2 , и с помощью свойств корня q-й степени доказываются первые свойства степени с рациональным показателем:
1) a p q = ( a 1 q ) p , 2) a p q = a pk qk ( k∈ N), 3) a p = a pq q .
Замечание. Подчеркнем, что рациональная степень числа а определена только для положительного числа а. Однако если рациональное число r положительно, то, применив к нему определение степени с рациональным показателем, получим, что 0 r = 0 p q = 0 p q = 0 q =0 .
Напомним, что записи 00 и 0−r (r > 0) не имеют смысла. Также не имеет смысла запись аr, где а < 0 и r — рациональное число, не являющееся целым числом.
Рассмотрим задание, при выполнении которого используется это замечание.
Пример. Для каждого значения параметра а решим уравнение
( ax ) 1 3 =− a 3 . (1)
Решение. 1) Если а = 0, то для любого x∈ R имеем: ( 0x ) 1 3 = 0 1 3 =0 , так как 1 3 >0 , и 0 3 =0 по определению корня третьей степени. Следовательно, любое x∈ R является решением уравнения (1) в этом случае.
2) Если а > 0, то − a 3 <0 . Для любого х < 0 имеем ах < 0. Поэтому запись ( ax ) 1 3 не имеет смысла, т. е. среди х < 0 нет решений уравнения (1). Для х = 0 имеем ах = 0 и ( ax ) 1 3 =0≠− a 3 <0 , т. е. x = 0 не является решением уравнения (1). Для любого х > 0 по определению степени с рациональным показателем ( ax ) 1 3 >0 , и так как − a 3 <0 , то ни для одного х > 0 уравнение (1) не превращается в верное равенство (слева в нем положительное число, а справа — отрицательное). Следовательно, уравнение (1) не имеет решений в этом случае.
3) Если а < 0, то − a 3 = −a 3 = | a | 3 >0 .
Для любого x > 0 имеем ах < 0, и поэтому запись ( ax ) 1 3 не имеет смысла, т. е. среди х > 0 нет решений уравнения (1).
Для х = 0 имеем ах = 0 и ( ax ) 1 3 =0≠ | a | 3 >0 , т. е. x = 0 не является решением уравнения (1) в этом случае.
Для любого x < 0 имеем ах = (−а)(−х) = |a||x| > 0. Поэтому имеет смысл запись ( ax ) 1 3 , и так как в этом случае ( ax ) 1 3 = ( | a || x | ) 1 3 = | a || x | 3 = | a | 3 | x | 3 , то уравнение (1) перепишется в виде
| a | 3 | x | 3 = | a | 3 . (2)
Так как | a | 3 ≠0 , то уравнение (2) равносильно уравнению | x | 3 =1 , которое (учитывая, что х < 0) имеет единственный корень −1.
Следовательно, уравнение (1) не имеет корней для каждого а > 0; любое число х является его корнем для а = 0; имеет единственный корень −1 для каждого а < 0. | 