В данном пункте учебника доказаны формулы:
sin α+sin β=2sin α+β 2 cos α−β 2 , (1)
sin α−sin β=2sin α−β 2 cos α+β 2 , (2)
cos α+cos β=2cos α−β 2 cos α−β 2 , (3)
cos α−cos β=−2sin α−β 2 sin α+β 2 . (4)
Для лучшего запоминания формул (1) — (4) надо обратить внимание учащихся на то, что в левой части каждой из них стоят суммы или разности одноименных функций от α и β, а справа — удвоенные произведения двух функций от полусуммы или полуразности этих углов. Воспроизводить эти формулы будет легче, если учащиеся запомнят идею их доказательства: надо сложить или вычесть sin ( x+y ) и sin ( x−y ) или cos ( x+y ) и cos ( x−y ) .
В правой части каждой из формул (1) — (4) знак между α и β в числителе первого аргумента совпадает со знаком между функциями в левой части формулы.
Не рекомендуем правую часть формулы (4) записывать без знака «–»: 2sin β−α 2 sin α−β 2 . Учащиеся должны запомнить, что знак «–» в правой части формул (1) — (4) ставится только при вычитании косинусов.
Решения и комментарии
9.38. а) Докажите справедливость равенства
sin 50°+sin 10°−cos 20°=0 .
Решение. sin 50°+sin 10°−cos 20°=2sin 30°cos 20°−cos 20°=
= 2⋅ 1 2 cos 20°−cos 20°=cos 20°−cos 20°=0, что и требовалось доказать.
9.40. а) Докажите справедливость равенства
cos 5π 12 +cos 7π 12 =0 .
Решение. cos 5π 12 +cos 7π 12 =2cos π 2 cos ( − π 12 )=2⋅0⋅cos ( − π 12 )=0 ,
что и требовалось доказать.
9.41. в) Вычислите cos 75° 2 ⋅cos 15° 2 .
Решение. Формулы для cos α cos β , sin α sin β , sin α cos β еще будут изучаться в п. 9.6, необязательном для изучения на базовом уровне. Здесь же воспользуемся равенством cos ( x+y )+cos ( x−y )=2cos xcos y , полученном при доказательстве формул (1) — (4). Из него нетрудно получить формулу cos xcos y= 1 2 ( cos ( x+y )+cos ( x−y ) ) , с помощью которой выполним вычисления:
cos 75° 2 ⋅cos 15° 2 = 1 2 ( cos ( 75° 2 + 15° 2 )+cos ( 75° 2 − 15° 2 ) )= = 1 2 ( cos 45°+cos 30° )= 1 2 ( 2 2 + 3 2 )= 2 + 3 4 .
Промежуточный контроль. С—34.
| 