В пункте доказываются основные свойства логарифмов (логарифм произведения, дроби, степени), формула перехода логарифмов от одного основания к другому и следствия из нее. Свойство логарифмов log a b= log a γ b γ сформулировано в задании 5.21. В дидактических материалах (п. 20) доказано еще одно свойство логарифмов, выражаемое равенством a log b c = c log b a ( a>0, b>0, b≠1, c>0 ) .
Доказательства этих последних свойств не входят в программу обучения на базовом уровне, их может привести учитель, а учащиеся могут применять их при выполнении сложных заданий на преобразование выражений, содержащих логарифмы (см., например, задание 126 из раздела «Задания для повторения»).
Отметим еще одно полезное свойство логарифмов — равенство log b b α =α, α∈ R, которое непосредственно следует из определения логарифма, но можно также считать, что это частный случай свойства логарифмов log a b α =α log a b (при b = а). Этим свойством часто пользуются при решении логарифмических уравнений (неравенств), заменяя, например, число 3 числом log 2 2 3 .
Решения и комментарии
5.21. Докажите, что для b>0, a>0, a≠1 и любого γ ( γ≠0 )
log a b= log a γ b γ .
Доказательство. Пусть log a b=c , тогда b= a c и b γ = ( a c ) γ = ( a γ ) c , откуда по определению логарифма следует, что c= log a γ b γ . Но тогда справедливо равенство log a b= log a γ b γ , что и требовалось доказать.
Пользуясь указанным свойством, вычислим:
а) log 5 2 125 2 = log 5 125=3 ;
ж) log 100 10 2π = log 10 10 π =π ;
з) log 4 2 e = log 2 2 e 2 = e 2 ;
и) log 3 9 π = log 3 9 2π = log 3 3 4π =4π .
5.26. а) Вычислите A= log 2 3⋅ log 3 4 log 2 4 ⋅ log 5 25 .
Решение. A= log 2 3⋅ log 3 4 2 ⋅2= log 2 3 log 3 4 = log 2 4=2 .
5.27. а) Вычислите A= 3 log 9 3 4 + 2 1 log 16 4 .
Решение. A= 3 log 9 4 3 + 2 log 4 16 = 3 log 3 2 3 + 2 2 = 2 3 +4=12 .
126. (Задания для повторения.)
б) Вычислите A= ( 9 log 3 ( 3+ 1 2 ) − 25 log 1 5 2 3 2 −1 )⋅ 2 log 5 3 5 3 log 5 10 .
Решение.
A= ( 9 log 9 (3+ 1 2 ) 2 − 25 log 25 ( 3 2 −1 2 ) 2 )⋅ 2 log 5 3+ log 5 5 3 log 5 2+ log 5 5 = = ( ( 3 2 +1 2 ) 2 − ( 3 2 −1 2 ) 2 )⋅ 2 log 5 3 ⋅ 2 log 5 5 3 log 5 2 ⋅ 3 log 5 5 = = ( 19+6 2 2 − 19−6 2 2 )⋅ 2 3 = 6 2 ⋅ 2 3 =4.
Здесь сокращены равные множители 2 log 5 3 и 3 log 5 2 (свойство a log b c = c log b a , приведенное выше).
Промежуточный контроль. С—20.
| 