В данном пункте приведены свойства пределов суммы, разности, произведения и частного и свойство вынесения постоянного множителя за знак предела. Доказательства этих свойств не предусмотрены программой и в учебнике не приведены.
Решения и комментарии
4.35. Найдите предел:
в) lim n→+∞ 2n+1 5−3n ; ж) lim n→+∞ n 3 +n n 2 −1 ; з) lim n→+∞ 2−n 3− n 2 .
Решение.
в) lim n→+∞ 2n+1 5−3n = lim n→+∞ 2+ 1 n 5 n −3 = lim n→+∞ ( 2+ 1 n ) lim n→+∞ ( 5 n −3 ) = 2 −3 =− 2 3 ;
ж) lim n→+∞ n 3 +n n 2 −1 = lim n→+∞ n+ 1 n 1− 5 n 2 =+∞ ;
з) lim n→+∞ 2−n 3− n 2 = lim n→+∞ 2 n 2 − 1 n 3 n 2 −1 = 0 −1 =0 .
4.37. Найдите предел: a) lim n→+∞ ( n 3 −10 n 2 +2n ) ;
в) lim n→+∞ ( n+1 − n ) .
Решение.
a) lim n→+∞ ( n 3 −10 n 2 +2n )= lim n→+∞ n 3 ( 1− 10 n 2 + 2 n )= lim n→+∞ n 3 ⋅lim n→+∞ ( 1− 10 n 2 + 2 n )=+∞ ;
в) lim n→+∞ ( n+1 − n )= lim n→+∞ ( n+1 − n )( n+1 + n ) n+1 + n = = lim n→+∞ n+1−n n+1 + n = lim n→+∞ 1 n+1 + n = = 1 lim n→+∞ ( n+1 + n ) = 1 lim n→+∞ n+1 + lim n→+∞ n =0.
При вычислении предела в задании 4.37в использовано свойство предела lim n→+∞ x n = lim n→+∞ x n , не доказанное в учебнике, но доказанное в дидактических материалах (п. 19).
Промежуточный контроль. С—19.
| 