В данном пункте доказаны новые теоремы о свойствах степени с рациональным показателем, из которых следует, что свойства степеней, известные ранее для целых показателей, справедливы и для рациональных показателей.
Решения и комментарии
4.22. б) Упростите выражение
B=( 4 a 1,5 −8 − a 0,5 −2 a+2 a 0,5 +4 )⋅ a 2 −8 a 0,5 a−16 − 4 a 0,5 a 0,5 +4 .
Решение.
1) 4 a 1,5 −8 − a 0,5 −2 a+2 a 0,5 +4 = 4 a 1,5 −8 − ( a 0,5 −2 ) 2 ( a 0,5 −2 )( a+2 a 0,5 +4 ) = = 4 a 1,5 −8 − a−4 a 0,5 +4 a 1,5 −8 = −a+4 a 0,5 a 1,5 −8 ;
2) −a+4 a 0,5 a 1,5 −8 ⋅ a 2 −8 a 0,5 a−16 = − a 0,5 ( a 0,5 −4 ) a 0,5 ( a 1,5 −8 ) ( a 1,5 −8 )( a 0,5 −4 )( a 0,5 +4 ) = −a a 0,5 +4 ;
3) B= −a a 0,5 +4 − 4 a 0,5 a 0,5 +4 =− a 0,5 ( a 0,5 +4) a 0,5 +4 =− a 0,5 .
Подчеркнем, что все преобразования выражения B здесь проведены для тех а, для каждого из которых все рассматриваемые выражения имеют смысл, т. е. для любых а, таких, что a≥0 , a≠4 , a≠16 .
4.23. а) Может ли значение выражения A= x 1 1 3 − x 1 3 x 1 3 − x − 2 3 + 0,25 −1,5 −9 ( x−2 ) 0 равняться 1?
Решение. Сначала преобразуем выражение А, полагая, что x>0 , x≠1 , x≠2 , так как в противном случае это выражение не определено:
A= x 1 3 ( x−1 ) x − 2 3 ( x−1 ) + ( 1 4 ) − 3 2 −9⋅1=x+8−9=x−1 .
Теперь выясним, существует ли такое х, удовлетворяющее условиям x>0 , x≠1 , x≠2 , при котором
x − 1 = 1. (1)
Уравнение (1) имеет единственный корень x = 2. Это означает, что не существует такого x, удовлетворяющего условиям x>0 , x≠1 , x≠2 , при котором верно равенство (1). Следовательно, выражение А не может равняться 1.
Промежуточный контроль. С—18.
|
