В данном пункте учебника определена сумма событий А и В, сумма (объединение) несовместных событий А и В, произведение (пересечение) событий А и В, введены соответствующие обозначения: A∪B, A+B, A∩B . Здесь же дано определение события, противоположного событию А (обозначение A ¯ ), введено обозначение A\B для события, заключающегося в том, что происходит событие A, но событие В не происходит.
Решения и комментарии
12.22. Бросают игральный кубик. Событие А заключается в выпадании или 5, или 6 очков; событие В заключается в выпадании четного числа очков. В чем заключаются события A\B и B\A ? Вычислите вероятности P( A\B ) и P( B\A ) .
Решение. Событие A\B заключается в выпадании 5 очков, P( A\B )= 1 6 . Событие B\A заключается в выпадании или 2, или 4 очков, P( B\A )= 2 6 = 1 3 .
12.24. Однажды к Галилео Галилею явился солдат и спросил: «Какая сумма выпадает чаще при бросании трех игральных костей — 9 или 10?» Галилей правильно решил эту задачу. Что ответил Галилей?
Решение. При бросании трех костей возможны 6⋅6⋅6=216 случаев, каждому из них соответствует трехзначное число, первая, вторая и третья цифры которого — количества очков, выпавшие соответственно на первом, втором и третьем кубике:
111, 112, 113, 114, 115, 116, 211, …, 665, 666.
Сумма 9 очков получится только в следующих 25 случаях:
126, 216, 315, 414, 513, 612, 135, 225, 324, 423, 522, 621. 144, 234, 333, 432, 531, 153, 243, 342, 441, 162, 252, 351, 261,
Сумма 10 очков получится только в следующих 27 случаях:
136, 226, 316, 415, 514, 613, 145, 235, 325, 424, 523, 622, 154, 244, 334, 433, 532, 631. 163, 253, 343, 442, 541, 262, 352, 451, 361,
Следовательно, вероятность выпадания 9 очков равна 25 216 , а вероятность выпадания 10 очков равна 27 216 . Поэтому более вероятно выпадание 10 очков.
12.25. В некотором царстве, в некотором государстве живут правдолюбцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые могут лгать или говорить правду, но не любят признаваться в этом. Для получения правдивой информации о количестве лжецов было проведено такое исследование. Каждого испытуемого спрашивали: «Вы лжец?» Прежде чем ответить, испытуемый подбрасывал монету так, чтобы результат этого опыта был виден только ему одному. Если выпадал герб, то он должен был сказать «да» (независимо от того, кем он является на самом деле). Если же выпадала решка, то он должен был правдиво ответить на вопрос (в этом случае исследователи не могли знать, кем на самом деле является испытуемый, так как они не знали результата опыта с монетой). В результате исследования выяснилось, что 61% граждан царства-государства ответили «да», остальные — «нет». Сколько процентов граждан этого царства-государства являются лжецами, если были опрошены все граждане?
Решение. Считаем выпадание герба и решки равновероятными событиями, поэтому у 50% всех граждан выпал герб, и они сказали «да». Еще 61−50=11( % ) всех граждан после выпадания у них решки также сказали «да». Они лжецы. Если считать, что лжецы равномерно распределены между двумя группами испытуемых (первая — те, у которых выпал герб, вторая — те, у которых выпала решка), то и в первой группе лжецы составляют 11% всех граждан. Тогда среди всего населения царства-государства лжецы составляют 22%.
12.26. Имеется 16 игральных карт: 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?
Решение. Пусть событие А заключается в том, что будет вынута козырная карта, P( A )= 4 16 = 1 4 . Пусть событие В заключается в том, что будет вынута дама, P( B )= 4 16 = 1 4 . Событие A∪B заключается в том, что будет вынута или козырная карта, или дама. Тогда P( A∪B )=P( A )+P( A )−P( AB ) . Событие АВ заключается в том, что будет вынута козырная дама. P( AB )= 1 16 .
Итак, P( A∪B )= 1 4 + 1 4 − 1 16 = 7 16 , т. е. искомая вероятность равна 7 16 .
Можно рассуждать и иначе. Так как козырных карт 4 и дам 4 (из них одна козырная), то событию D — «вынута козырная карта или дама» — благоприятствует 7 случаев. Следовательно, P( D )= 7 16 .
12.27. Имеется колода из 52 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?
Решение. Пусть событие А заключается в том, что будет вынута козырная карта, P( A )= 1 4 . Пусть событие В заключается в том, что будет вынута дама, P( B )= 4 52 = 1 13 . Событие A∪B заключается в том, что будет вынута или козырная карта, или дама. Тогда P( A∪B )=P( A )+P( A )−P( AB ) . Событие АВ заключается в том, что будет вынута козырная дама. P( AB )= 1 52 .
Итак, P( A∪B )= 1 4 + 1 13 − 1 52 = 4 13 , т. е. искомая вероятность равна 4 13 .
Можно рассуждать и иначе. Так как козырных карт 13 и дам 4 (из них одна козырная), то событию D —«вынута козырная карта или дама» — благоприятствует 16 случаев. Следовательно, P( D )= 16 52 = 4 13 . |
