Основное назначение данного пункта — обучение учащихся применению теоремы Безу для отыскания остатка от деления многочлена на двучлен х − а; обучение краткой записи процедуры деления многочлена на двучлен х − а с помощью схемы Горнера. В учебнике описан алгоритм нахождения коэффициентов частного (неполного частного) и остатка при делении уголком и при использовании схемы Горнера. Но учащиеся не всегда понимают, почему схему Горнера надо заполнять именно так и как эти действия связаны с процессом деления многочленов уголком. Остановимся на этом подробнее. В примере 1 из учебника требуется разделить многочлен 3х3 − 2х − 20 = 3x3 + 0x2 − 2х − 20 на двучлен х − 2. Выполним деление уголком (рис. 5; подробное описание действий приведено в учебнике). Запишем в верхней строке таблицы коэффициенты делимого, а перед второй строкой число 2 (рис. 6).
Так как первый коэффициент делителя равен 1, то первый коэффициент частного равен 3 (сносим 3 в первую клетку нижней строки таблицы на рисунке 6). Далее при делении уголком коэффициент при х2 находится так: из 0 вычитаем 3 · (−2), получаем 6, т. е. 0 − 3 · ( −2) = 6, что равно 2 · 3 + 0. Число 6 пишем во вторую клетку нижней строки таблицы (рис. 7).
Аналогично получаем числа для следующих клеток нижней строки таблицы: 10 = −2 − 6 · (−2), что равно 2 · 6 + (−2) (рис. 8), 0 = −20 − 10 · (−2), что равно 2 · 10 + (−20) (рис. 9). Итак, нижняя строка таблицы (рис. 9) дает коэффициенты при х2, при х и свободный член частного, а в последней клетке — остаток от деления многочлена на двучлен х − 2.
Решения и комментарии
2.35. а) С помощью теоремы Безу найдите остаток от деления многочлена 3x3 − 2x2 − 4x − 5: на х − 1; на x − 2; на х − 3. Решение. Остаток от деления многочлена P3 (х) = 3х3 − 2х2 − 4х − 5 на двучлен х − 1 равен Р3 (1) = 3 · 13 − 2 · 12 − 4 · 1 − 5 = −8. Остаток от деления многочлена P3 (x) = 3x3 − 2х2 − 4х − 5 на двучлен х − 2 равен Р3 (2) = 3 · 23 − 2 · 22 − 4 · 2 − 5 = 3. Остаток от деления многочлена Р3 (х) = 3х3 − 2х2 − 4x − 5 на двучлен х − 3 равен Р3 (3) = 3 · 33 − 2 · 32 − 4 · 3 − 5 = 46. 2.36. а) С помощью теоремы Безу докажите, что многочлен 17х3 − 13x2 − 4 делится на двучлен x − 1 без остатка. Доказательство. Так как для многочлена P3 (х) = 17x3 − 13x2 − 4 верно равенство Р3 (1) = 0, то остаток от деления многочлена Р3 (х) на двучлен x − 1 равен 0, т. е. многочлен Р3 (x) делится на двучлен x − 1 без остатка.
