В данном пункте рассмотрены приемы решения тригонометрических уравнений, которые после замены неизвестного t=f( x ) , где f( x ) — одна из основных тригонометрических функций, сводятся к квадратному или рациональному уравнению. Здесь же показан прием решения тригонометрических уравнений с помощью замены аргумента у основных тригонометрических функций.
Решения и комментарии
11.14. а) Решите уравнение sin 2 x= 1 3 .
Решение. Введя новое неизвестное t=sin x , получим уравнение t 2 = 1 3 , имеющее два корня: t 1 = 3 3 и t 2 =− 3 3 . Поэтому множество решений уравнения sin 2 x= 1 3 есть объединение множеств решений двух уравнений:
sin x= 3 3 и sin x=− 3 3 . (1)
Все решения первого уравнения задаются двумя сериями:
x n =arcsin 3 3 +2πn, n∈ Z; x k =π−arcsin 3 3 +2πk, k∈ Z.
Все решения второго уравнения задаются двумя сериями:
x p =arcsin ( − 3 3 )+2πp, p∈ Z;
x q =π−arcsin ( − 3 3 )+2πq, q∈ Z.
Все решения исходного уравнения задаются четырьмя сериями: x n , x k , x p , x q .
Замечание 1. Описанную выше замену неизвестного обычно делают в уме и сразу находят объединение множеств решений уравнений (1).
Замечание 2. Для наглядной иллюстрации решений исходного уравнения можно изобразить в системе координат uOυ единичную окружность (рис. 60). Тогда на пересечении прямой υ= 3 3 и единичной окружности получим две точки А и B, соответствующие углам, имеющим радианную меру х (далее будем записывать коротко: углам х), для которых sin x= 3 3 . Аналогично получим точки С и D, соответствующие углам x, для которых sin x=− 3 3 .
Таким образом, точки А и В соответствуют всем решениям уравнения sin x= 3 3 , а точки С и D соответствуют всем решениям уравнения sin x=− 3 3 .
Учитывая симметричность пар точек А и С, В и D относительно точки О, а также симметричность точек А и D относительно оси и, все решения исходного уравнения можно задать одной серией x m =±arcsin 3 3 +πm, m∈ Z.
Промежуточный контроль. С—40.
| 