В пункте введены понятия условной вероятности события В при условии, что произошло событие А. Это отношение числа случаев, благоприятствующих событию АВ, к числу случаев, благоприятствующих событию А. Его обозначают P A ( B ) . Далее показана справедливость равенств: P( AB )=P( A ) P A ( B ) , P( AB )=P( B ) P B ( A ) , P B ( A )= P( AB ) P( B ) (если P( B )>0 ) и P A ( B )= P( AB ) P( A ) (если P( A )>0 ). Затем вводится понятие независимых событий А и В. Это такие события, для которых P( AB )=P( A )⋅P( B ) .
Решения и комментарии
13.5. Пусть бросают игральную кость. Событие А заключается в выпадании не более 4 очков, событие В — в выпадании нечетного числа очков. Вычислите вероятность: а) P( A ) ; б) P( B ) ; в) P B ( A ) ; г) P A ( B ) . Решение. Всего равновозможных и единственно возможных случаев 6 (выпадание 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков), из них благоприятствующих: событию А — 4 случая (выпадание 1, 2, 3, 4 очков), событию В — 3 случая (выпадание 1, 3, 5 очков), событию АВ — 2 случая (выпадание 1, 3 очков). P( AB )= 2 6 = 1 3 . а) P( A )= 4 6 = 2 3 ; б) P( B )= 3 6 = 1 2 ; в) P B ( A )= P( AB ) P( B ) = 1 3 : 1 2 = 2 3 ; г) P A ( B )= P( AB ) P( A ) = 1 3 : 2 3 = 1 2 . Замечание. Результаты, полученные при решении этой задачи, можно проиллюстрировать (и даже получить их без изученных формул) с помощью кругов Эйлера (рис. 76).
Вероятность события А при условии того, что наступило событие В, есть P B ( A )= 2 3 , так как событие А происходит в двух случаях из тех, когда произошло событие В. Вероятность события В при условии того, что наступило событие А, есть P A ( B )= 2 4 = 1 2 , так как событие В происходит в двух случаях из тех, когда произошло событие A. 13.6. В ящике находится 15 шаров: 7 белых и 8 черных, из них 3 белых шара и 2 черных помечены звездочками. Опыт состоит в том, что из ящика наугад вынимают один шар. Событие А заключается в том, что «вынут белый шар», событие В — «вынут черный шар», событие С — «вынут шар, помеченный звездочкой». Вычислите вероятность: а) P( A ) ; б) P( B ) ; в) P( C ) ; г) P C ( A ) ; д) P C ( B ) ; е) P A ( C ) ; ж) P B ( C ) ; з) P B ( A ) . Решение. Всего равновозможных и единственно возможных случаев 7+8=15 (вынут или белый шар, или черный шар, или со звездочкой), из них благоприятствующих: событию А — 7 случаев, событию В — 8 случаев, событию С — 5 случаев, событию АВ — 0 случаев, событию АС — 3 случая, событию ВС — 2 случая. P( AC )= 3 15 , P( BC )= 2 15 . а) P( A )= 7 15 ; б) P( B )= 8 15 ; в) P( C )= 5 15 = 1 3 ; г) P C ( A )= P( AC ) P( C ) = 3 15 : 1 3 = 3 5 ; д) P C ( B )= P( CB ) P( C ) = 2 15 : 1 3 = 2 5 ; е) P A ( С )= P( AC ) P( A ) = 3 15 : 7 15 = 3 7 ; ж) P B ( C )= P( CB ) P( B ) = 2 15 : 8 15 = 1 4 ; з) P B ( A )= P( AB ) P( B ) = 0 15 : 8 15 =0 . Эти результаты можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера (рис. 77).
13.10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым — равна 0,8. Считая, что поражения мишени каждым из стрелков являются независимыми событиями, найдите вероятность следующего события: а) мишень поразят оба стрелка; б) мишень поразит первый стрелок, но не поразит второй; в) мишень поразит второй стрелок, но не поразит первый; г) мишень не поразит ни один из стрелков; д) мишень поразит хотя бы один из стрелков. Решение. а) Для краткости первого стрелка обозначим А, второго — В. Пусть событие А — «стрелок А попал в мишень», событие В — «стрелок В попал в мишень», событие АВ — «попали оба», тогда событие A ¯ — «стрелок А не попал в мишень», событие B ¯ — «стрелок В не попал в мишень», событие A B ¯ — «попал А, но не попал В», событие A ¯ B — «попал В, но не попал А», событие AB ¯ — «не попали оба», событие A∪B — «попал хотя бы один стрелок». События А и В, А и B ¯ , A ¯ и В, A ¯ и B ¯ независимы, поэтому: а) P( AB )=P( A )⋅P( B )=0,7⋅0,8=0,56 ; б) P( A B ¯ )=P( A )⋅P( B ¯ )=0,7⋅( 1−0,8 )=0,14 ; в) P( A ¯ B )=P( A ¯ )⋅P( B )=( 1−0,7 )⋅0,8=0,24 ; г) P( AB ¯ )=P( A ¯ )⋅P( B ¯ )=( 1−0,7 )⋅( 1−0,8 )=0,06 ; д) P( A∪B )=P( A )+P( B )−P( AB )=0,7+0,8−0,56=0,94 .
