Задачи с целочисленными неизвестными демонстрируют практическое применение материала о делимости натуральных (целых) чисел. В данном пункте рассмотрены диофантовы уравнения и старинные задачи, решаемые с их помощью. Учащиеся должны научиться находить частное решение диофантова уравнения первой степени, полное его решение, решать задачи с помощью диофантовых уравнений. Отметим, что на конкурсных экзаменах иногда встречаются задачи такого содержания, поэтому освоение материала данного пункта окажется полезным учащимся, готовящимся к конкурсным испытаниям.
Решения и комментарии
1.101. Подберите частное решение диофантова уравнения первой степени и запишите общее решение этого уравнения:
а) х + у = 5; б) 8x − y = 15.
Решение. а) Частным решением диофантова уравнения х + у = 5 является, например, пара чисел х = 1, у = 4. Общее решение этого уравнения: x = 1 + n, у = 4 − п, где n∈ Z.
б) Частным решением диофантова уравнения 8х − у = 15 является, например, пара чисел х = 2, у = 1. Общее решение этого уравнения: х = 2 + n, у = 1 + 8n, где n∈ Z.
1.102. а) Объясните, почему не имеет решений в целых числах уравнение 3x + 12y = 5.
Решение. Так как (3, 12) = 3, а 5 не делится на 3, то уравнение 3х + 12у = 5 не имеет решений в целых числах, так как если бы существовало решение (x0; у0) этого уравнения, то было бы справедливо числовое равенство 3x0 + 12у0 = 5, в котором левая часть делится на 3, а правая не делится, что, естественно, невозможно.
1.103. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи, 1180—1240). Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?
Решение. Пусть купили х воробьев по 1 3 монеты, у горлиц по 1 2 монеты и 30 − х − у голубей по 2 монеты. Будем предполагать, что птиц каждой породы купили не менее одной, т. е. х, у и (30 − х − у) — натуральные числа. Составим уравнение
1 3 x+ 1 2 y+2( 30−x−y )=30 . (1)
Умножив уравнение (1) на 6 и перенеся неизвестное у в правую часть уравнения, получим уравнение, равносильное уравнению (1):
10x = 9(20 − у). (2)
Так как правая часть равенства (2) делится на 9, то и левая его часть делится на 9. Так как 10 не делится на 9, то, применяя лемму ( с . 36 учебника), получаем, что х делится на 9, т. е. х = 9х1, где x 1 ∈ N. Перепишем уравнение (2) в виде
9y = 10(18 − x). (3)
Так как правая часть равенства (3) делится на 10, то и левая его часть делится на 10. Так как 9 не делится на 10, то, применяя ту же лемму, получаем, что у делится на 10, т. е. у = 10y1, где y 1 ∈ N. Перепишем уравнение (2) в виде
10 · 9x1 + 9 · 10y1 = 180.
Разделив это уравнение на 90, получим равносильное ему уравнение
х1 + у1 = 2,
имеющее единственное решение в натуральных числах:
x1 = 1, y1 = 1.
Теперь найдем соответствующие значения х и у:
x = 9x1 = 9, y = 10y1 = 10.
Тогда 30 − x − y = 30 − 9 − 10 = 11. Итак, купили 9 воробьев, 10 горлиц и 11 голубей.
1.104. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1669—1739). Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил. (1 алтын = 3 к., 1 деньга = 0,5 к.)
Решение. Пусть купили х гусей по 6 к., у уток по 3 к., 80 − x − у чирков по 1,5 к. Будем предполагать, что птиц каждой породы купили не менее одной, т. е. х, у и (80 − х − у) — натуральные числа. Составим уравнение
6x + 3y + 1,5(80 − х − y) = 240. (4)
Разделив уравнение (4) на 1,5 и перенеся неизвестные в одну часть уравнения, а известные — в другую, получим уравнение, равносильное уравнению (4):
3x + y = 80. (5)
Так как х = 0, у = 80 — частное решение уравнения (5), то общее решение этого уравнения: х = 0 + п = п, у = 80 − 3n, где n∈ Z, но тогда 80 − х − у = 2п.
Так как мы рассматриваем решения уравнения (4) в натуральных числах и число птиц каждого вида меньше 80, то x ≥ 1, y ≥ 1, откуда 1 ≤ п ≤ 26. Таким образом, задача имеет 26 решений. Всего купили: п гусей, 80 − 3п уток, 2п чирков, где n∈ N, n ≤ 26.
Приведем одно из 26 решений задачи: купили 1 гуся, 77 уток и 2 чирка.
1.107. Решите в целых числах уравнение:
a) x2 + y2 − 2x + 4y = −5; (6)
в) xy + 4x − 2y − 11 = 0. (7)
Решение. а) Перепишем уравнение (6) в виде
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 0.
Это уравнение имеет единственное решение х = 1, у = −2, поэтому пара (1; −2) — единственное решение уравнения (6).
в) Перепишем уравнение (7) в виде
(x − 2)(у + 4) = 3. (8)
Так как x − 2 и у + 4 — целые числа, то решениями уравнения (8) являются только те пары целых чисел (x; у), которые являются решениями хотя бы одной из систем:
{ x−2=1 y+4=3 или { x−2=−1 y+4=−3 или { x−2=3 y+4=1 или { x−2=−3 y+4=−1.
Решив каждую из четырех систем, получим все решения уравнения (6) в целых числах: (3; −1), (1; −7), (5; −3), ( −1; −5).
1.108. Докажите, что уравнение:
а) х2 − 4х + у2 + 4y + 8 = 0 (9)
имеет единственное целочисленное решение;
б) x2 − 4x + y2 + 4y + 9 = 0 (10)
не имеет решений.
Доказательство. a) Перепишем уравнение (9) в виде
(x − 2)2 + (y + 2)2 = 0. (11)
Уравнение (11) имеет единственное решение х = 2, у = −2, так как при любых других значениях х и y сумма (х − 2)2 + (у + 2)2 положительна. Следовательно, и уравнение (9) имеет единственное целочисленное решение.
б) Перепишем уравнение (10) в виде
(x − 2)2 + (y + 2)2 + 1 = 0. (12)
При любых значениях x и у сумма (х − 2)2 + (у + 2)2 + 1 ≥ 1, следовательно, уравнение (12), а значит, и уравнение (10) не имеют решений.
Задача-шутка. Докажите, что существует решение уравнения
29x + 30y + 31z = 366 (13)
в натуральных числах.
Решение. В високосном году 366 дней и имеется 1 месяц, содержащий ровно 29 дней, 4 месяца, содержащих ровно 30 дней, и 7 месяцев, содержащих ровно 31 день, поэтому тройка чисел х = 1, у = 4, z = 7 является решением уравнения (13). Это означает, что существует решение уравнения (13) в натуральных числах.
|
