Вторник, 19.01.2021, 04:35
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Задачи с целочисленными неизвестными
26.10.2014, 12:46
      Задачи с целочисленными неизвестными демонстрируют практическое применение материала о делимости натуральных (целых) чисел. В данном пункте рассмотрены диофантовы уравнения и старинные задачи, решаемые с их помощью. Учащиеся должны научиться находить частное решение диофантова уравнения первой степени, полное его решение, решать задачи с помощью диофантовых уравнений. Отметим, что на конкурсных экзаменах иногда встречаются задачи такого содержания, поэтому освоение материала данного пункта окажется полезным учащимся, готовящимся к конкурсным испытаниям.

      Решения и комментарии

      1.101. Подберите частное решение диофантова уравнения первой степени и запишите общее решение этого уравнения:
      а) х + у = 5;  б) 8x − y = 15.
      Решение. а) Частным решением диофантова уравнения х + у = 5 является, например, пара чисел х = 1, у = 4. Общее решение этого уравнения: x = 1 + n, у = 4 − п, где n∈  Z.
      б) Частным решением диофантова уравнения 8х − у = 15 является, например, пара чисел х = 2, у = 1. Общее решение этого уравнения: х = 2 + n, у = 1 + 8n, где n∈  Z.
      1.102. а) Объясните, почему не имеет решений в целых числах уравнение 3x + 12y = 5.
      Решение. Так как (3, 12) = 3, а 5 не делится на 3, то уравнение 3х + 12у = 5 не имеет решений в целых числах, так как если бы существовало решение (x0; у0) этого уравнения, то было бы справедливо числовое равенство 3x0 + 12у0 = 5, в котором левая часть делится на 3, а правая не делится, что, естественно, невозможно.
      1.103. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи, 1180—1240). Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?
      Решение. Пусть купили х воробьев по 1 3 монеты, у горлиц по 1 2 монеты и 30 − х − у голубей по 2 монеты. Будем предполагать, что птиц каждой породы купили не менее одной, т. е. х, у и (30 − х − у) — натуральные числа. Составим уравнение
1 3 x+ 1 2 y+2( 30−x−y )=30 .     (1)

      Умножив уравнение (1) на 6 и перенеся неизвестное у в правую часть уравнения, получим уравнение, равносильное уравнению (1):
10x = 9(20 − у).     (2)

      Так как правая часть равенства (2) делится на 9, то и левая его часть делится на 9. Так как 10 не делится на 9, то, применяя лемму ( с . 36 учебника), получаем, что х делится на 9, т. е. х = 9х1, где x 1 ∈  N. Перепишем уравнение (2) в виде
9y = 10(18 − x).     (3)

      Так как правая часть равенства (3) делится на 10, то и левая его часть делится на 10. Так как 9 не делится на 10, то, применяя ту же лемму, получаем, что у делится на 10, т. е. у = 10y1, где y 1 ∈  N. Перепишем уравнение (2) в виде

10 · 9x1 + 9 · 10y1 = 180.

      Разделив это уравнение на 90, получим равносильное ему уравнение

      х1 + у1 = 2,

имеющее единственное решение в натуральных числах:

      x1 = 1, y1 = 1.

      Теперь найдем соответствующие значения х и у:

      x = 9x1 = 9, y = 10y1 = 10.

      Тогда 30 − x − y = 30 − 9 − 10 = 11. Итак, купили 9 воробьев, 10 горлиц и 11 голубей.
      1.104. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1669—1739). Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил. (1 алтын = 3 к., 1 деньга = 0,5 к.)
      Решение. Пусть купили х гусей по 6 к., у уток по 3 к., 80 − x − у чирков по 1,5 к. Будем предполагать, что птиц каждой породы купили не менее одной, т. е. х, у и (80 − х − у) — натуральные числа. Составим уравнение
6x + 3y + 1,5(80 − х − y) = 240.     (4)

      Разделив уравнение (4) на 1,5 и перенеся неизвестные в одну часть уравнения, а известные — в другую, получим уравнение, равносильное уравнению (4):
3x + y = 80.     (5)

      Так как х = 0, у = 80 — частное решение уравнения (5), то общее решение этого уравнения: х = 0 + п = п, у = 80 − 3n, где n∈  Z, но тогда 80 − х − у = 2п.
      Так как мы рассматриваем решения уравнения (4) в натуральных числах и число птиц каждого вида меньше 80, то x ≥ 1, y ≥ 1, откуда 1 ≤ п ≤ 26. Таким образом, задача имеет 26 решений. Всего купили: п гусей, 80 − 3п уток, 2п чирков, где n∈  N, n ≤ 26.
      Приведем одно из 26 решений задачи: купили 1 гуся, 77 уток и 2 чирка.
      1.107. Решите в целых числах уравнение:
      a) x2 + y2 − 2x + 4y = −5;     (6)
      в) xy + 4x − 2y − 11 = 0.     (7)

      Решение. а) Перепишем уравнение (6) в виде

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 0.

      Это уравнение имеет единственное решение х = 1, у = −2, поэтому пара (1; −2) — единственное решение уравнения (6).
      в) Перепишем уравнение (7) в виде
(x − 2)(у + 4) = 3.     (8)

      Так как x − 2 и у + 4 — целые числа, то решениями уравнения (8) являются только те пары целых чисел (x; у), которые являются решениями хотя бы одной из систем:

{ x−2=1 y+4=3   или  { x−2=−1 y+4=−3   или  { x−2=3 y+4=1   или  { x−2=−3 y+4=−1.
      Решив каждую из четырех систем, получим все решения уравнения (6) в целых числах: (3; −1), (1; −7), (5; −3), ( −1; −5).
      1.108. Докажите, что уравнение:
      а) х2 − 4х + у2 + 4y + 8 = 0     (9)

имеет единственное целочисленное решение;
      б) x2 − 4x + y2 + 4y + 9 = 0     (10)

не имеет решений.
      Доказательство. a) Перепишем уравнение (9) в виде
(x − 2)2 + (y + 2)2 = 0.     (11)

      Уравнение (11) имеет единственное решение х = 2, у = −2, так как при любых других значениях х и y сумма (х − 2)2 + (у + 2)2 положительна. Следовательно, и уравнение (9) имеет единственное целочисленное решение.
      б) Перепишем уравнение (10) в виде
(x − 2)2 + (y + 2)2 + 1 = 0.     (12)

      При любых значениях x и у сумма (х − 2)2 + (у + 2)2 + 1 ≥ 1, следовательно, уравнение (12), а значит, и уравнение (10) не имеют решений.
      Задача-шутка. Докажите, что существует решение уравнения
29x + 30y + 31z = 366     (13)

в натуральных числах.
      Решение. В високосном году 366 дней и имеется 1 месяц, содержащий ровно 29 дней, 4 месяца, содержащих ровно 30 дней, и 7 месяцев, содержащих ровно 31 день, поэтому тройка чисел х = 1, у = 4, z = 7 является решением уравнения (13). Это означает, что существует решение уравнения (13) в натуральных числах.
Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 5954 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru