Понедельник, 23.04.2018, 23:05
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 3
Гостей: 3
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
27.10.2014, 10:00
      Цель изучения параграфа — обучение исследованию тригонометрических функций на четность и нечетность и нахождению периода функции.
      С понятиями четной и нечетной функции учащиеся знакомились в основной школе и повторяли их в 10 классе при изучении степенной функции. В главе «Тригонометрические формулы» рассказывалось, как найти соотношение между синусом, косинусом, тангенсом углов α и −α (при повторении можно воспользоваться плакатом 4). Теперь, после введения понятия тригонометрической функции и знакомства с областью определения каждой из них, можно говорить, что справедливость равенств sin (−x) = −sin x, tg (−x) = −tg x для любых x из области определения позволяет сделать вывод о нечетности функций у = sin x и у = tg x, а справедливость равенства cos (−x) = cos x — o четности функции y = cos x. Целесообразно сразу же напомнить особенности графиков четных и нечетных функций.
      Доказательство свойств четных и нечетных функций рекомендуется провести только в профильных классах (так же, как и решение упражнения 27); учащихся общеобразовательных классов достаточно с этими свойствами только ознакомить. При разборе решения задачи 1 и выполнении упражнений 12, 13, 16 важно обращать внимание учащихся на отыскание области определения функции: каждое из равенств f (−x) = f (x), f (−x) = −f (x) должно выполняться для всех x из области определения.
      Начиная знакомить учащихся с понятием периодичности, можно вновь вернуться к плакатам (рис. 1) и напомнить учащимся, что если х = х0 + 2πn, n  ∈  Z, то при повороте на угол x вокруг начала координат получается та же самая точка, что и при повороте на угол x0, а затем повторить формулы приведения: sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x, tg (x + π) = tg x.
      Формирование понятия периодической функции происходит при обсуждении решения задач 2—4, причем в них фактически доказывается, что периодом функций у = cos x и y = tg x являются соответственно числа 2π и π. Формулировки задач отличаются друг от друга. В задаче 2 наименьший положительный период функции задан и известно, что функция периодическая. В задаче 4 необходимо прежде доказать, что функция периодическая, и лишь затем найти наименьший положительный период. Таким образом, на этих простых, но важных для изучения конкретных тригонометрических функций примерах показывается, как рассуждать в каждом из указанных случаев. В системе упражнений номера 14 и 15 аналогичны задаче 3 текста параграфа.
      Опыт показывает, что задачи, подобные задачам 4—6, кажутся учащимся более трудными, и поэтому упражнения 18—20 рекомендуется решать с учащимися профильных классов, а в общеобразовательных классах только разобрать решение одной из них с помощью учителя.

    

      18.  1)  Функция определена на всей числовой оси, следовательно, числа х + Т и х − Т принадлежат области определения. Пусть Т — период функции. Тогда по определению периодической функции верно равенство cos  2 5 (x+T)=cos  2 5 x, т. е. cos ( 2 5 x+ 2 5 T )=cos  2 5 x, 2 5 T=2π, откуда Т = 5π.

 
    

      20. 1) Область определения функции 2πn ≤ х ≤ π + 2πn, n  ∈  Z, так как sin x ≥ 0. Для всех x из области определения числа х + 2π и х − 2π принадлежат области определения. По формулам приведения верно равенство sin (x+T) = sin (x+2π) = sin x .
Аналогично sin (x−T) = sin (x−2π) = sin x .
Следовательно, функция периодическая.

      Задачи 8 и 9 предназначены для тех, кто интересуется математикой. Чтобы убедиться в том, что функция не является периодической, нужно установить, что для любого Т > 0 найдется такое х (из области определения), что не будет выполняться хотя бы одно из условий: 1) точка х + Т принадлежит области определения функции; 2) точка х − Т принадлежит области определения функции; 3) f (x + T) = f (x).
      На последнем из уроков можно провести небольшую проверочную работу (на 15—20 мин) с целью проверки усвоения материала первых двух параграфов.
      1.  Найти область определения и множество значений функции:
      1)   y=cos  5 x ;   2) y = sin 3x + 1   [ 1) y=sin  2 x ;  2) y=cos  x 3 −1 ] .
      2.  Выяснить, является ли четной или нечетной функция у = x2 sin x [у = x3 cos x].
      3.  Доказать, что наименьший положительный период функции y=cos  2 3 x    [ y=sin  3 4 x ] равен 3π    [ 8π 3 ] .
      4.  Найти наименьший положительный период функции y=tg 2x 3    [ y=tg 7x 8 ] .
      5.  Выяснить, является ли периодической функция y= cos x    [ y=tg x ] .
      Первые три задания можно предложить учащимся общеобразовательных классов, все задания выполняют учащиеся профильных классов.

      В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение периодической функции и уметь выполнять упражнения, такие, как 12, 14. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны знать свойства четных и нечетных функций и уметь выполнять упражнения, такие, как 13, 18 (1, 2).

Решение упражнений

      21. 2) Область определения функции R. Предположим, что данная функция периодическая с периодом Т ≠ 0. Тогда для любого х  ∈  R верно равенство sin x+sin  2 x=sin (x+T)+sin (x+T) 2 . Полагая х = 0 и x = Т, получаем sin T+sin  2 T=0, sin T+sin  2 T=sin 2T+sin 2 2 T . Следовательно, sin 2T+sin 2 2 T=0, 2sin T( 1+ 2 )cos T( 1− 2 )=0, откуда

T( 1+ 2 )=πn,   n  ∈  Z;   T( 2 −1 )= π 2 +πn,   n  ∈  Z.

Отношение левых частей двух полученных равенств равно 1+ 2 2 −1 =3+2 2 . Это — число иррациональное. Отношение правых частей — число рациональное, что невозможно. Следовательно, никакое число Т ≠ 0 не может быть периодом функции.
      24. Воспользуемся следующим утверждением: если точки М1 (х1; у1) и М2 (x2, y2) симметричны относительно прямой l, заданной уравнением х = d, то y1 = y2 (точки М1 и М2 лежат на одном перпендикуляре к l) и х2 = 2d − x1 (так как середина отрезка М1М2 принадлежит l, т. е. x 1 + x 2 2 =d ) . Пусть М (х; у) — произвольная точка графика F функции у = f (x). Тогда точка М′ (2а − х; у), симметричная М относительно прямой х = а, лежит на графике F, и точка М″ (2b − (2а − х); у), симметричная М′ относительно прямой x = b, также лежит на графике F. Это означает, что значение 2b − (2а − х) = х + (2b − 2a) принадлежит области определения данной функции, причем у = f (x + (2b − 2а)) = f (x).
      Аналогично, отражая точку М вначале относительно прямой х = b, a затем относительно прямой х = a, получаем, что значение х − (2b − 2а) принадлежит области определения данной функции, причем у = f (x − (2b − 2a)) = f (x). Таким образом, y = f (x) — функция периодическая с периодом Т = 2 (b − а).
      25.  Применим следующее утверждение: если точки М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2) симметричны относительно точки А (а; b), то х2 = 2а − х1 и у2 = 2b − у1 (так как А — середина отрезка М1М2, т. е. x 1 + x 2 2 =a, y 1 + y 2 2 =b ) . Также воспользуемся утверждением из решения задачи 24. Пусть М (х; у) — произвольная точка графика F функции y = f (x). Тогда точка М′ (2а − x; 2b − у), симметричная М относительно точки А, лежит на графике F; точка М″ (2с − (2а − x); 2b − y), симметричная М′ относительно прямой x = с, лежит на графике F; точка

М′′′ ((2а − (2с − (2а − х)); 2b − (2b − y)),

M′′′ (2 (2а − с) − х; y), симметричная М″ относительно точки А, также лежит на графике F. Из формул для координат точки М′′′ вытекает, что М′′′ симметрична точке М относительно прямой x = 2а − с. Итак, график F симметричен относительно прямых х = с и х = 2а − с. Из задачи 24 вытекает, что y = f (x) — функция периодическая с периодом Т = 2 (2а − с − с) = 4 (а − с).
      26. Из условия вытекает, что для любого х из области определения числа вида х + пТ, n  ∈  N, также принадлежат области определения. По условию

f (x + T) = −f (x),   f (x + 2T) = f ((x + T) + T) = −f (x + T),

откуда f (x + 2T) = f (x). Аналогично f (x − 2T) = f (x), значит, y = f (x) функция периодическая с периодом 2T.
Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 1139 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск

Copyright MyCorp © 2018
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru