Цель изучения параграфа — обучение исследованию тригонометрических функций на четность и нечетность и нахождению периода функции.
С понятиями четной и нечетной функции учащиеся знакомились в основной школе и повторяли их в 10 классе при изучении степенной функции. В главе «Тригонометрические формулы» рассказывалось, как найти соотношение между синусом, косинусом, тангенсом углов α и −α (при повторении можно воспользоваться плакатом 4). Теперь, после введения понятия тригонометрической функции и знакомства с областью определения каждой из них, можно говорить, что справедливость равенств sin (−x) = −sin x, tg (−x) = −tg x для любых x из области определения позволяет сделать вывод о нечетности функций у = sin x и у = tg x, а справедливость равенства cos (−x) = cos x — o четности функции y = cos x. Целесообразно сразу же напомнить особенности графиков четных и нечетных функций.
Доказательство свойств четных и нечетных функций рекомендуется провести только в профильных классах (так же, как и решение упражнения 27); учащихся общеобразовательных классов достаточно с этими свойствами только ознакомить. При разборе решения задачи 1 и выполнении упражнений 12, 13, 16 важно обращать внимание учащихся на отыскание области определения функции: каждое из равенств f (−x) = f (x), f (−x) = −f (x) должно выполняться для всех x из области определения.
Начиная знакомить учащихся с понятием периодичности, можно вновь вернуться к плакатам (рис. 1) и напомнить учащимся, что если х = х0 + 2πn, n ∈ Z, то при повороте на угол x вокруг начала координат получается та же самая точка, что и при повороте на угол x0, а затем повторить формулы приведения: sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x, tg (x + π) = tg x.
Формирование понятия периодической функции происходит при обсуждении решения задач 2—4, причем в них фактически доказывается, что периодом функций у = cos x и y = tg x являются соответственно числа 2π и π. Формулировки задач отличаются друг от друга. В задаче 2 наименьший положительный период функции задан и известно, что функция периодическая. В задаче 4 необходимо прежде доказать, что функция периодическая, и лишь затем найти наименьший положительный период. Таким образом, на этих простых, но важных для изучения конкретных тригонометрических функций примерах показывается, как рассуждать в каждом из указанных случаев. В системе упражнений номера 14 и 15 аналогичны задаче 3 текста параграфа.
Опыт показывает, что задачи, подобные задачам 4—6, кажутся учащимся более трудными, и поэтому упражнения 18—20 рекомендуется решать с учащимися профильных классов, а в общеобразовательных классах только разобрать решение одной из них с помощью учителя.
18. 1) Функция определена на всей числовой оси, следовательно, числа х + Т и х − Т принадлежат области определения. Пусть Т — период функции. Тогда по определению периодической функции верно равенство cos 2 5 (x+T)=cos 2 5 x, т. е. cos ( 2 5 x+ 2 5 T )=cos 2 5 x, 2 5 T=2π, откуда Т = 5π.
20. 1) Область определения функции 2πn ≤ х ≤ π + 2πn, n ∈ Z, так как sin x ≥ 0. Для всех x из области определения числа х + 2π и х − 2π принадлежат области определения. По формулам приведения верно равенство sin (x+T) = sin (x+2π) = sin x .
Аналогично sin (x−T) = sin (x−2π) = sin x .
Следовательно, функция периодическая.
Задачи 8 и 9 предназначены для тех, кто интересуется математикой. Чтобы убедиться в том, что функция не является периодической, нужно установить, что для любого Т > 0 найдется такое х (из области определения), что не будет выполняться хотя бы одно из условий: 1) точка х + Т принадлежит области определения функции; 2) точка х − Т принадлежит области определения функции; 3) f (x + T) = f (x).
На последнем из уроков можно провести небольшую проверочную работу (на 15—20 мин) с целью проверки усвоения материала первых двух параграфов.
1. Найти область определения и множество значений функции:
1) y=cos 5 x ; 2) y = sin 3x + 1 [ 1) y=sin 2 x ; 2) y=cos x 3 −1 ] .
2. Выяснить, является ли четной или нечетной функция у = x2 sin x [у = x3 cos x].
3. Доказать, что наименьший положительный период функции y=cos 2 3 x [ y=sin 3 4 x ] равен 3π [ 8π 3 ] .
4. Найти наименьший положительный период функции y=tg 2x 3 [ y=tg 7x 8 ] .
5. Выяснить, является ли периодической функция y= cos x [ y=tg x ] .
Первые три задания можно предложить учащимся общеобразовательных классов, все задания выполняют учащиеся профильных классов.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение периодической функции и уметь выполнять упражнения, такие, как 12, 14. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны знать свойства четных и нечетных функций и уметь выполнять упражнения, такие, как 13, 18 (1, 2).
Решение упражнений
21. 2) Область определения функции R. Предположим, что данная функция периодическая с периодом Т ≠ 0. Тогда для любого х ∈ R верно равенство sin x+sin 2 x=sin (x+T)+sin (x+T) 2 . Полагая х = 0 и x = Т, получаем sin T+sin 2 T=0, sin T+sin 2 T=sin 2T+sin 2 2 T . Следовательно, sin 2T+sin 2 2 T=0, 2sin T( 1+ 2 )cos T( 1− 2 )=0, откуда
T( 1+ 2 )=πn, n ∈ Z; T( 2 −1 )= π 2 +πn, n ∈ Z.
Отношение левых частей двух полученных равенств равно 1+ 2 2 −1 =3+2 2 . Это — число иррациональное. Отношение правых частей — число рациональное, что невозможно. Следовательно, никакое число Т ≠ 0 не может быть периодом функции.
24. Воспользуемся следующим утверждением: если точки М1 (х1; у1) и М2 (x2, y2) симметричны относительно прямой l, заданной уравнением х = d, то y1 = y2 (точки М1 и М2 лежат на одном перпендикуляре к l) и х2 = 2d − x1 (так как середина отрезка М1М2 принадлежит l, т. е. x 1 + x 2 2 =d ) . Пусть М (х; у) — произвольная точка графика F функции у = f (x). Тогда точка М′ (2а − х; у), симметричная М относительно прямой х = а, лежит на графике F, и точка М″ (2b − (2а − х); у), симметричная М′ относительно прямой x = b, также лежит на графике F. Это означает, что значение 2b − (2а − х) = х + (2b − 2a) принадлежит области определения данной функции, причем у = f (x + (2b − 2а)) = f (x).
Аналогично, отражая точку М вначале относительно прямой х = b, a затем относительно прямой х = a, получаем, что значение х − (2b − 2а) принадлежит области определения данной функции, причем у = f (x − (2b − 2a)) = f (x). Таким образом, y = f (x) — функция периодическая с периодом Т = 2 (b − а).
25. Применим следующее утверждение: если точки М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2) симметричны относительно точки А (а; b), то х2 = 2а − х1 и у2 = 2b − у1 (так как А — середина отрезка М1М2, т. е. x 1 + x 2 2 =a, y 1 + y 2 2 =b ) . Также воспользуемся утверждением из решения задачи 24. Пусть М (х; у) — произвольная точка графика F функции y = f (x). Тогда точка М′ (2а − x; 2b − у), симметричная М относительно точки А, лежит на графике F; точка М″ (2с − (2а − x); 2b − y), симметричная М′ относительно прямой x = с, лежит на графике F; точка
М′′′ ((2а − (2с − (2а − х)); 2b − (2b − y)),
M′′′ (2 (2а − с) − х; y), симметричная М″ относительно точки А, также лежит на графике F. Из формул для координат точки М′′′ вытекает, что М′′′ симметрична точке М относительно прямой x = 2а − с. Итак, график F симметричен относительно прямых х = с и х = 2а − с. Из задачи 24 вытекает, что y = f (x) — функция периодическая с периодом Т = 2 (2а − с − с) = 4 (а − с).
26. Из условия вытекает, что для любого х из области определения числа вида х + пТ, n ∈ N, также принадлежат области определения. По условию
f (x + T) = −f (x), f (x + 2T) = f ((x + T) + T) = −f (x + T),
откуда f (x + 2T) = f (x). Аналогично f (x − 2T) = f (x), значит, y = f (x) функция периодическая с периодом 2T. |
