Цель изучения параграфа — знакомство с понятиями точек экстремума функции, стационарных и критических точек, с необходимыми и достаточными условиями экстремума функции; обучение нахождению точек экстремума функции. Понятия максимума и минимума функции вводятся с опорой на рисунок 59 учебника. Заметим, что для облегчения усвоения учащимися курса анализа в учебнике под точкой максимума (минимума) понимается точка собственного максимума (минимума), тогда как в строгом курсе анализа, для того чтобы точка х0 была точкой максимума (минимума), требуется выполнение условия f (x) ≤ f (x0) (f (x) ≥ f (x0)) для всех х из некоторой окрестности точки x0. Дается обобщенное название точек максимума и минимума («точки экстремума»), после чего по рисунку 23 (заранее выполненному учителем на доске) находятся точки максимума и минимума функции, а также выполняются следующие задания:
1. Для каждой найденной точки максимума (минимума) хi указать какую-нибудь окрестность точки xi, в которой выполняется неравенство f (x) < f (xi) (f (x) > f (xi)). 2. Объяснить, почему, например, точки х = 1, x = 1,5 не являются точками экстремума функции f (x). 3. Как расположены касательные к графику функции у = f (x) в точках экстремума? 4. Найти f ′ (−5), f ′ (−2), f ′ (0) (при нахождении f ′ (0) = 0 обращается внимание на то, что x = 0 не является точкой экстремума). 5. Есть ли на отрезке [2; 6] значения х, для которых f ′ (x) = 0? 6. Найти промежутки возрастания и убывания функции f (x). Теорема Ферма (необходимое условие экстремума) иллюстрируется с помощью рисунков 60, 61 и 62 учебника, после чего делается вывод о том, что точки максимума и минимума следует искать среди тех точек, в которых производная равна 0; однако не всегда точка, в которой производная обращается в нуль, является точкой экстремума (точка х = 0 на рисунке 63 не является точкой экстремума, хотя в ней производная функции обращается в нуль). После введения понятий стационарных и критических точек выполняются упражнения 9, 10 и рассматривается (без доказательства в общеобразовательных классах) достаточное условие экстремума. После рассмотрения задач 2 и 3 учащиеся должны понять, что точки экстремума выявляются с помощью знакомой им задачи нахождения интервалов возрастания и убывания функции. В начале уроков изучения этой темы закрепляются навыки нахождения производных, повторяется решение различных уравнений и квадратных неравенств. Возможно повторение метода интервалов, которому при изучении следующего параграфа уделяется значительное внимание. Задания на актуализацию знаний могут быть выбраны из следующих: 1. Найти производную функции: 1) 3x4 − 2x + 5; 2) e−2x + 1; 3) x2 · sin x. 2. Найти значения х, при которых f (x) = 0, если: 1) f (x) = 5х2 + 3х; 2) f (x) = 2х3 − 4х2; 3) f (x) = хех; 4) f(x)= 3−x . 3. Решить неравенство: 1) 15х + 1 > 0; 2) x (3 − x) > 0; 3) x2 − 5x + 6 > 0; 4) x − 5x + 6 < 0; 5) x−1 x <0; 6) (х + 2) ex > 0. В конце второго урока изучения § 2 или в начале следующего урока (перед изучением материала § 3) можно провести проверочную самостоятельную работу. 1. Найти стационарные точки функции y=sin x 2 [у = tg 2x]. 2. Найти точки экстремума функции y= 2 x + x 3 [ y= 1 x + x 2 ] . 3. (В профильных классах.) Найти точки экстремума и значения функции f (x) в точках экстремума, если f (x) = е2х − 2ех [f (x) = 3е2х − 2е3х].
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определения точек максимума и минимума, стационарных и критических точек; уметь применять необходимые и достаточные условия экстремума для нахождения точек экстремума функции при решении заданий типа 11.
