Задачи, которые учащиеся до недавнего времени решали в курсе математики, предполагали конкретные действия и их однозначный результат. Однако есть большой круг задач, которые имеют широкое применение в различных науках, технике, прикладных знаниях, но в которых результат действия не определен однозначно. Простейший пример: если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной вверх она упадет — орлом или решкой. Здесь результат действия (подбрасывания монеты) не определен однозначно. Может показаться, что в этой задаче и в аналогичных ей нет никакого определенного результата. Однако это не так. Даже игровая практика показывает, что при большом числе бросков примерно в половине случаев выпадает орел, а в половине — решка. А это уже своеобразная закономерность.
Еще один пример из реальной практики: при обработке деталей на станке-автомате размеры получаемых деталей будут колебаться около некоторого значения. Колебания носят случайный характер. Однако распределение размеров в больших партиях деталей имеет довольно строгие закономерности: средние арифметические размеров деталей в разных партиях оказываются приблизительно равными; отклонения той или иной величины размера от среднего значения также встречаются в разных партиях примерно одинаково часто.
Рассмотренные виды закономерностей и им подобные, встречающиеся в массовых случайных явлениях, изучаются теорией вероятностей.
Впервые такого рода закономерности были замечены при решении задач, связанных с азартными играми, в основном с игрой в кости в XVII в. (о чем свидетельствуют научные поиски того времени математиков П. Ферма и Б. Паскаля). Тогда и были введены основные понятия теории: случайный опыт (испытание), случайное событие, относительная частота события, вероятность события.
Относительной частотой (W) события А называют отношение числа случаев М появления этого события к общему числу испытаний N, проведенных в одних и тех же условиях, и записывают: W(A)= M N . Устойчивость относительной частоты при многократном проведении испытаний может объясняться лишь проявлением некоторого объективного свойства случайного события, состоящего в существовании определенной степени его возможности. Например, приблизительное равенство относительных частот выпадения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков при бросании игральной кости объясняется ее симметриями, делающими одинаково возможным выпадение каждой из ее граней.
Таким образом, степень объективной возможности случайного события можно измерить числом. Это число называется вероятностью события (и обозначается буквой Р). Именно около этого числа группируются относительные частоты случайного события при увеличении числа испытаний (Р (А) ≈ W (A)). Относительная частота события зависит от числа произведенных испытаний, вероятность же случайного события связана только с самим случайным событием (при постоянных условиях).
Такой подход в определении вероятности называют статистическим. Подробно о нем рекомендуем учителю прочитать в пособии М. В. Ткачевой и Н. Е. Федоровой «Элементы статистики и вероятность, 7—9 классы» (M.: Просвещение, 2005).
Только в простейших случаях вероятность случайного события может быть найдена «на бумаге» без проведения многочисленных испытаний (чему и посвящена глава VI учебника). Каждое испытание в этих случаях таково, что оно заканчивается одним и только одним из исходов (событий), называемых элементарными событиями (ω1, ω2, ..., ωn). С каждым исходом ωk связывается неотрицательное число рk — вероятность этого исхода. При этом р1 + р2 + ... + рn = 1. Затем рассматривается более сложное событие А, состоящее в том, что «наступает или ωi, или ωj, ..., или ωm». Исходы ωi, ωj, ..., ωm называют благоприятствующими событию A и по определению полагают вероятность Р (А) события А равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов: Р (А) = pi + рj + ... + рm. Частный случай, когда р1 = р2 = ... = рn = 1 n (в учебнике в основном и рассматриваются такие события), приводит к классическому определению вероятности, выраженному формулой P(A)= m n : «Вероятность события А равна отношению числа m исходов, благоприятствующих А, к числу всех равновозможных исходов n».
Подсчет всех возможных исходов испытания и исходов, благоприятствующих событию А, часто осуществляется с помощью методов комбинаторики. Приведем пример условия и решения такой задачи.
Задача. В научном обществе 3 девушки и 5 юношей. Какова вероятность того, что случайным образом выбранные для участия в конференции 2 человека из числа членов общества окажутся юношами?
Решение. Пусть событие А — случайным образом выбраны 2 юноши. Число всех возможных пар, составленных из членов общества, n= C 8 2 =28 . Число пар, благоприятствующих событию А, равно числу возможных пар, выбранных из 5 юношей, т. е. m= C 5 2 =10 . Тогда P(A)= m n = 10 28 = 5 14 .
В Большой советской энциклопедии теория вероятностей определяется как «математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми».
Глава VI учебника и посвящена исследованию простейших взаимосвязей между различными событиями, а также нахождению вероятностей некоторых видов событий через вероятности других событий.
В результате изучения главы все учащиеся должны уметь находить вероятности случайных событий с помощью классического определения вероятности при решении упражнений типа 5, 7; иметь представление о сумме и произведении двух событий, уметь находить вероятность противоположного события (решать упражнения типа 16); интуитивно определять независимые события и уметь находить вероятность одновременного наступления независимых событий в задачах, аналогичных 31, 34, 35. Учащиеся профильных классов должны уметь решать упражнения типа 11, 20, 39, 42.
Приведем список дополнительной литературы по вопросам комбинаторики и теории вероятностей.
1. Бернулли Я. О законе больших чисел. — М., 1986.
2. Бунимович Е. А., Булычев В. А. Основы статистики и вероятность. — М., 2004.
3. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М., 1969.
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М., 1997.
5. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — М., 1982.
6. Лютикас B. C. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. — М., 1990.
7. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. — М., 1985.
8. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников. — М., 1996.
9. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Элементы статистики и вероятность. Учебное пособие для учащихся 7—9 кл. — М., 2005.
10. Тюрин Ю. Н. и др. Теория вероятностей и статистика. — М., 2004.
11. Чистяков B. П. Курс теории вероятностей. Пособие для студентов вузов. — М., 1982.
12. Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. — М., 1997, 2008. |
