Цель изучения параграфа — научить изображать числа на комплексной плоскости, сформировать представление о геометрической интерпретации свойств арифметических действий над комплексными числами. Учащиеся знают геометрическую интерпретацию действительных чисел. С ее помощью, в частности, вводилось понятие отрицательных чисел и действий сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. Представление комплексного числа в виде пары чисел или в алгебраической форме подсказывает возможность изображения этого числа на плоскости. С помощью геометрической интерпретации комплексного числа можно наглядно демонстрировать не только сами числа, но и действия над ними, и в частности решать с ее помощью как задачи самой теории комплексных чисел, так, например, и задачи по геометрии. Перед изучением темы желательно предложить учащимся дома повторить материал, который поможет в усвоении нового: уравнение окружности, определение координат вектора, формулу расстояния между двумя точками, свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку через его середину. Так как содержание темы требует активного применения наглядности, целесообразно подготовить на плакатах или в форме раздаточного материала рисунки 104—110 учебника (учитывая, что старшеклассники не всегда приносят учебники на занятия). Можно использовать презентацию, выполненную в соответствии с этими рисунками, добавив кадры с решениями некоторых заданий из упражнений 40, 41, а также при наличии готового рисунка (рис. 42) упражнение 43 дополнительно, которое может быть быстро решено со всем классом.
Можно заранее заготовить раздаточный материал с изображением комплексной плоскости и заданий по изображению на ней важных для осознания геометрической интерпретации понятий. 1. Построить на комплексной плоскости точки
5, −2, 3i, −4i, 1 + 2i, −2 + 3i, −1 − 5i, 2 − 4i.
2. Построить на той же комплексной плоскости точки, соответствующие числам, сопряженным с числами, данными в первом задании. 3. На комплексной плоскости изобразить множество точек, удовлетворяющих условию:
| z | = 5, | z + 2 | = 3, | z − 1 − 2i | = | z − 2 + 4i |, | z + 1 + 5i | < 2.
4. Решить систему уравнений: 1) { | z−2 |=| z−6 |, | z−3i |=| z−5i |; 2) { | z−2 |=| z−6 |, | z |=4. Решение системы, подобной заданию 4 из предложенных выше, подготовит к решению более трудных упражнений типа 42, 44. При наличии времени учитель может показать решение одной из геометрических задач с помощью комплексных чисел. Задача. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Решение. Расположим в комплексной плоскости параллелограмм так, как показано на рисунке 43. Пусть z1, z2 — комплексные числа, соответствующие координатам вершин параллелограмма. Тогда комплексная координата третьей вершины z = z1 + z2. Известно, что z⋅ z ¯ = | z | 2 , кроме того, длины диагоналей равны длинам векторов z 1 z 2 → , Oz → . Значит, применяя результат решения задачи 4 из § 2, получим | z 1 z 2 → | 2 + | Oz → | 2 =( z 2 − z 1 )( z 2 − z 1 ¯ )+( z 1 + z 2 )( z 1 + z 2 ¯ )= =( z 2 − z 1 )( z ¯ 2 − z ¯ 1 )+( z 1 + z 2 )( z 1 ¯ + z 2 ¯ )=2( | z 1 | 2 + | z 2 | 2 )= =2( | O z 1 → | 2 + | O z 2 → | 2 ).
В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь изображать числа на комплексной плоскости, знать, в чем состоит геометрический смысл модуля комплексного числа, уметь решать упражнения типа 36, 37.
Решение упражнений
42. 1) Решением первого уравнения системы являются все числа вида −1,5 + yi. Эти числа находятся на одинаковом расстоянии от точек (−1; 0) и (−2; 0) (задача 1, § 3). Подставив значение х = −1,5 во второе уравнение системы, получим | 3 (−1,5 + yi) + 9 | = | 5 (−1,5 + yi) + 10i |, откуда | 4,5 + 3yi | = | −7,5 + (5у + 10) i |. Модули чисел равны, следовательно, 4,5 2 +9 y 2 = (−7,5) 2 + (5y+10) 2 . Корнями полученного уравнения являются числа y 1 =− 17 4 и y2 = −2. Следовательно, z 1 =−1,5− 17 4 i , z2 = −1,5 − 2i. 43. Решениями первого уравнения системы являются все числа, удаленные от числа −1 + i на расстояние, равное 2 , решениями второго — числа, удаленные от начала координат на расстояние, равное 3. Окружности с центром в точке −1 + i и точке (0; 0), радиусов 2 и 3 соответственно не пересекаются (см. рис. 42). Действительно, диаметр первой окружности равен 2 2 ( так как | z−(−1+i) |= 2 ) ; он меньше радиуса второй окружности. Следовательно, система не имеет решения. 44. Первое уравнение системы равносильно уравнению | z − 4 | = | z − 8 |, решением которого является множество чисел, равноудаленных от точек 4 и 8 действительной оси, т. е. х = 6. Тогда второе уравнение примет вид | 6+yi−12 |= 5 3 | 6+(y−8)i | , откуда 36+ y 2 = 5 3 36+ (y−8) 2 . Решив это уравнение, получим у1 = 17, у2 = 8. Система имеет два решения z1 = 6 + 17i, z2 = 6 + 8i.
