Суббота, 14.12.2024, 23:37
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                              Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Геометрическая интерпретация комплексного числа
26.10.2014, 15:41
      Цель изучения параграфа — научить изображать числа на комплексной плоскости, сформировать представление о геометрической интерпретации свойств арифметических действий над комплексными числами.
      Учащиеся знают геометрическую интерпретацию действительных чисел. С ее помощью, в частности, вводилось понятие отрицательных чисел и действий сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел. Представление комплексного числа в виде пары чисел или в алгебраической форме подсказывает возможность изображения этого числа на плоскости. С помощью геометрической интерпретации комплексного числа можно наглядно демонстрировать не только сами числа, но и действия над ними, и в частности решать с ее помощью как задачи самой теории комплексных чисел, так, например, и задачи по геометрии.
      Перед изучением темы желательно предложить учащимся дома повторить материал, который поможет в усвоении нового: уравнение окружности, определение координат вектора, формулу расстояния между двумя точками, свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку через его середину.
      Так как содержание темы требует активного применения наглядности, целесообразно подготовить на плакатах или в форме раздаточного материала рисунки 104—110 учебника (учитывая, что старшеклассники не всегда приносят учебники на занятия). Можно использовать презентацию, выполненную в соответствии с этими рисунками, добавив кадры с решениями некоторых заданий из упражнений 40, 41, а также при наличии готового рисунка (рис. 42) упражнение 43 дополнительно, которое может быть быстро решено со всем классом.

      Можно заранее заготовить раздаточный материал с изображением комплексной плоскости и заданий по изображению на ней важных для осознания геометрической интерпретации понятий.
      1.  Построить на комплексной плоскости точки

      5, −2, 3i, −4i, 1 + 2i, −2 + 3i, −1 − 5i, 2 − 4i.

      2.  Построить на той же комплексной плоскости точки, соответствующие числам, сопряженным с числами, данными в первом задании.
      3.  На комплексной плоскости изобразить множество точек, удовлетворяющих условию:

| z | = 5, | z + 2 | = 3, | z − 1 − 2i | = | z − 2 + 4i |, | z + 1 + 5i | < 2.

      4.  Решить систему уравнений:
      1)   { | z−2 |=| z−6 |, | z−3i |=| z−5i |;    2)   { | z−2 |=| z−6 |, | z |=4.
      Решение системы, подобной заданию 4 из предложенных выше, подготовит к решению более трудных упражнений типа 42, 44.
      При наличии времени учитель может показать решение одной из геометрических задач с помощью комплексных чисел.
            Задача. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.


      Решение. Расположим в комплексной плоскости параллелограмм так, как показано на рисунке 43. Пусть z1, z2 — комплексные числа, соответствующие координатам вершин параллелограмма. Тогда комплексная координата третьей вершины z = z1 + z2. Известно, что z⋅ z ¯ = | z | 2 , кроме того, длины диагоналей равны длинам векторов z 1 z 2 → , Oz → . Значит, применяя результат решения задачи 4 из § 2, получим
| z 1 z 2 → | 2 + | Oz → | 2 =( z 2 − z 1 )( z 2 − z 1 ¯ )+( z 1 + z 2 )( z 1 + z 2 ¯ )=
=( z 2 − z 1 )( z ¯ 2 − z ¯ 1 )+( z 1 + z 2 )( z 1 ¯ + z 2 ¯ )=2( | z 1 | 2 + | z 2 | 2 )=
=2( | O z 1 → | 2 + | O z 2 → | 2 ).

      В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь изображать числа на комплексной плоскости, знать, в чем состоит геометрический смысл модуля комплексного числа, уметь решать упражнения типа 36, 37.

Решение упражнений


      42.  1)  Решением первого уравнения системы являются все числа вида −1,5 + yi. Эти числа находятся на одинаковом расстоянии от точек (−1; 0) и (−2; 0) (задача 1, § 3). Подставив значение х = −1,5 во второе уравнение системы, получим | 3 (−1,5 + yi) + 9 | = | 5 (−1,5 + yi) + 10i |, откуда | 4,5 + 3yi | = | −7,5 + (5у + 10) i |. Модули чисел равны, следовательно, 4,5 2 +9 y 2 = (−7,5) 2 + (5y+10) 2 . Корнями полученного уравнения являются числа y 1 =− 17 4 и y2 = −2. Следовательно, z 1 =−1,5− 17 4 i , z2 = −1,5 − 2i.
      43.  Решениями первого уравнения системы являются все числа, удаленные от числа −1 + i на расстояние, равное 2 , решениями второго — числа, удаленные от начала координат на расстояние, равное 3. Окружности с центром в точке −1 + i и точке (0; 0), радиусов 2 и 3 соответственно не пересекаются (см. рис. 42). Действительно, диаметр первой окружности равен 2 2 ( так как | z−(−1+i) |= 2 ) ; он меньше радиуса второй окружности. Следовательно, система не имеет решения.
      44. Первое уравнение системы равносильно уравнению | z − 4 | = | z − 8 |, решением которого является множество чисел, равноудаленных от точек 4 и 8 действительной оси, т. е. х = 6. Тогда второе уравнение примет вид | 6+yi−12 |= 5 3 | 6+(y−8)i | , откуда 36+ y 2 = 5 3 36+ (y−8) 2 . Решив это уравнение, получим у1 = 17, у2 = 8. Система имеет два решения z1 = 6 + 17i, z2 = 6 + 8i.
Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 1359 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"

ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты
  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0
    Форма входа


    Copyright MyCorp © 2024
    Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru