Цель изучения параграфа — знакомство с геометрическим смыслом производной, обучение составлению уравнения касательной к графику функции в заданной точке.
На всех уроках при изучении этой темы следует закреплять навыки нахождения производных элементарных функций, для чего могут быть использованы ранее решенные упражнения из § 7, а также 104—110 (часть из них нужно зарезервировать для урока обобщения и систематизации знаний).
На первом уроке (до изучения материала параграфа) желательно выполнить следующее задание:
Построить график функции: 1) y= 1 2 x−1; 2) у = −2х + 1. Найти тангенс угла, образованного построенной прямой с осью Ox. Является ли эта функция возрастающей; убывающей?
Объяснение нового материала следует вести в соответствии с текстом учебника, причем рисунки, аналогичные рисункам 48 и 49 учебника, должны быть выполнены учителем на доске, а рисунок 49 должен быть перенесен учащимися в тетради.
Желательно и в общеобразовательных, и в профильных классах на первом уроке рассмотреть теоретический материал пп. 1 и 2. От учащихся общеобразовательных классов в дальнейшем не следует требовать воспроизведения рассуждений, предшествующих формуле (5). После записи формулы (1) в классе выполняются одно-два задания из упражнения 89, а после рассмотрения задачи 1 выполняется упражнение 90 (1, 3). После введения геометрического смысла производной учащимся предлагается упражнение 91.
После усвоения учащимися геометрического смысла производной учитель может провести беседу о функциях, не имеющих производной в некоторых точках своей области определения. Так, например, можно сообщить учащимся (не изучавшим строгого определения предела функции), что функция y = | x | не имеет в точке х = 0 производной, и этот факт иллюстрируется отсутствием касательной к графику функции в этой точке (можно рассмотреть рисунок 104 учебника и наглядно обосновать отсутствие производной функции у = | log2 x | в точке х = 1).
Уравнение касательной в общем виде выводится после рассмотрения задачи 3 текста параграфа. Желательно (особенно слабым учащимся) при составлении уравнения касательной к графику функции f (x) в точке x0 придерживаться следующего алгоритма:
1) вычислить f (x0); 2) найти f ′ (x); 3) вычислить f ′ (x0); 4) записать в общем виде уравнение касательной y = f (x0) + f ′ (x0) (х − x0) и в него подставить заданное значение х0 и вычисленные значения f (x0) и f ′ (x0), затем полученное уравнение преобразовать к виду у = kx + b.
На третьем уроке может быть проведена следующая проверочная самостоятельная работа:
Записать уравнение касательной к графику функции у = f (x) в точке x0, если:
1) f (x) = 2х3 − х, x0 = −2; 2) f (x) = ln (3x − 2), x0 = 1;
[1) f (x) = 3х2 − х3, x0 = 2; 2) f (x) = ln (−2x + 3), x0 = 1].
В профильных классах дополнительным к этой самостоятельной работе может быть упражнение 99 (1) [99 (2)].
При наличии дополнительного времени учащиеся профильных классов, интересующиеся математикой, могут познакомиться с понятием дифференциала функции (п. 4).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать геометрический смысл производной и уметь записывать уравнение касательной к графику функции у = f (x) в точке х0 в упражнениях, аналогичных 94; учащиеся профильных классов — аналогичных 95.
Решение упражнений
97. 1) Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций: 8−x=4 x+4 , откуда { 8−x≥0, 64−16x+ x 2 =16x+64; { x≤8, x 2 −32x=0, откуда x = 0. (8 − x)′ = −1, tg α1 = −1, откуда α 1 =− π 4 ; ( 4 x+4 ) ′ = 2 x+4 , tg α 2 = 2 0+4 =1, откуда α 2 = π 4 . Угол между касательными равен α 2 +| α 1 |= π 2 .
2) 1 2 ( x 2 +2x+1)= 1 2 ( x 2 −2x+1), откуда х = 0.
( 1 2 ( x 2 +2x+1) ) ′ = 1 2 (2x+2)=x+1, tg α1 = 0 + 1 = 1, откуда α 1 = π 4 .
( 1 2 ( x 2 −2x+1) ) ′ = 1 2 (2x−2)=x−1, tg α2 = 0 − 1 = −1, откуда α 2 =− π 4 .
Угол между прямыми равен π 2 .
98. 1) Найдем абсциссу общей точки графиков функций: x4 = x6 + 2x2, x2 (x4 − x2 + 2) = 0. Так как х4 − х2 + 2 > 0 при любом х, то единственным корнем уравнения x2 (x4 − х + 2) = 0 является x = 0. Уравнение касательной к графику функции f (x) = x4 в точке х = 0, очевидно, у = 0. Составим уравнение касательной к графику функции f (x) = х6 + 2х2 в точке x = 0: f (0) = 0, f ′ (x) = 6х5 + 4х, f ′ (0) = 0, откуда у = 0. Уравнения касательных обеих функций в точке х = 0 одинаковы, значит, в этой точке графики функций имеют общую касательную.
99. 1) f ′ (x) = 2x − 3. Из уравнения 2x − 3 = 1 находим абсциссу точки графика (х = 2), в которой касательная параллельна прямой у = х. f (2) = 22 − 3 · 2 + 4 = 2. Ответ. (2; 2).
4) f ′ (x) = ex − е−х. Из уравнения e x − e −x = 3 2 найдем абсциссы точек графика, в которых касательные параллельны прямой y= 3 2 x :
e 2x −1 e x = 3 2 , 2е2х − 2 = 3ех, 2е2х − 3ех − 2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно еx, получим e x 1 =2, e x 2 =− 1 2 . Так как еx > 0 при любом x, то еx = 2, откуда х = ln 2.
Ответ. ( ln2;2 1 2 ) .
100. y ′ = 1⋅(x−2)−(x+2)⋅1 (x−2) 2 =− 4 (x−2) 2 . Абсциссы точек графика, в которых касательная образует с осью Ох угол, равный − π 4 , найдем из уравнения − 4 (x−2) 2 =tg( − π 4 ), − 4 (x−2) 2 =−1, откуда (х − 2)2 = 4, х − 2 = ±2, x1 = 0, х2 = 4. Ответ. (0; −1), (4; 3).
101. k1 = f ′ (x) = 3х2 − 1, k2 = g′ (x) = 6x − 4. Касательные параллельны, если k1 = k2, т. е. когда 3х2 − 1 = 6х − 4, откуда х2 − 2х + 1 = 0, x = 1, т. е. y = 2x − 3 — уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке (1; −1), у = 2х − 2 — уравнение касательной к графику функции y = g (x) в точке (1; 0).
|
