Цель изучения параграфа — научить выполнять операции вычитания и деления комплексных чисел.
Важное место при изучении теоретического материала параграфа занимает введение операций деления и вычитания как операций, обратных умножению и сложению. Учащиеся обычно забывают, что вычитание и деление дробей обыкновенных и десятичных они изучали как действия, обратные сложению и умножению, в десятом классе деление многочленов рассматривали как действие, обратное умножению. Поэтому полезно попросить одного из учащихся подготовить небольшое сообщение, используя учебники математики для 5—6, 10 классов и, например, «Энциклопедический словарь юного математика». Из этого сообщения должен быть сделан вывод о необходимости введения числа, противоположного данному и обратного данному. И если число, противоположное данному, легко ввести, зная операцию умножения ((−1) z), то проблема введения числа, обратного данному, более сложная. Для ее решения можно использовать частично поисковый метод. К решению проблемы учащиеся подходят с помощью вопросов учителя: 1) Произведение взаимно обратных действительных чисел равно 1. Верно ли это для комплексных чисел? 2) Если верно, то что представляют собой действительная и мнимая части числа, обратного данному? Как они связаны с действительной и мнимой частью данного числа?
Отвечая на поставленные вопросы, учащиеся предполагают, что для числа z = a + bi обратным будет число x + yi и произведение двух комплексных чисел равно 1. Значит, справедливо равенство (а + bi) (x + yi) = 1, откуда (ах − by) + (bx + ay) i = 1, т. е. действительная часть равна 1, а мнимая равна 0. После решения соответствующей системы { ax−by=1, bx+ay=0 учащиеся приходят к выражениям для х и у, которые требуют дальнейшего толкования. Отсюда учитель может перейти к введению понятий сопряженных чисел и модуля комплексного числа.
Рассматривая теперь вычитание и деление, обращаем внимание учащихся на то, что обе операции вводятся как операции, обратные сложению и умножению:
1. Для любых двух чисел z1 и z2 существует, и при том только одно число z, такое, что выполняется соответствующее равенство z + z2 = z1 (z2z = z1).
2. Выражаем z из каждого уравнения. Для чего к обеим частям первого уравнения прибавляем число, противоположное z2. Обе части второго умножаем на число, сопряженное с z2.
Изучая модуль комплексного числа, можно упомянуть о том, что модуль действительного числа есть расстояние от начала координат до точки, соответствующей числу. При изучении уже следующего параграфа учащиеся смогут ответить на вопрос, что же представляет собой модуль комплексного числа с геометрической точки зрения.
Свойства, связанные с сопряженными числами, учащиеся смогут наблюдать, выполняя упражнения 16, 21, 22.
Учащимся, интересующимся математикой, можно предложить самостоятельно доказать, что: 1) сумма и произведение взаимно сопряженных чисел — действительное число; 2) число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме чисел, сопряженных слагаемым; 3) число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности чисел, сопряженных уменьшаемому и вычитаемому; 4) число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению чисел, сопряженных множителям; 5) число, сопряженное частному двух комплексных чисел (делитель отличен от нуля), равно частному сопряженных чисел.
Важным итогом изучения должно стать уверенное выполнение учащимися изученных операций, в частности операции возведения в степень двучлена с использованием формулы бинома Ньютона. Желательно, чтобы возведение в натуральную степень мнимой единицы учащиеся делали осознанно, не заучивая наизусть результат возведения в степень.
В результате изучения параграфа учащиеся должны знать определения сопряженных чисел, модуля комплексного числа; уметь выполнять арифметические действия с комплексными числами при решении упражнений типа 19—22.
Решение упражнений
30. 1) Пусть z = х + iy, тогда | z |= x 2 + y 2 и уравнение примет вид x 2 + y 2 −i(x+iy)=1−2i . Это уравнение равносильно уравнению ( x 2 + y 2 +y )−xi=1−2i . Таким образом, приходим к системе уравнений { x 2 + y 2 +y=1, −x=−2, откуда х = 2, у = −1,5. Следовательно, z = 2 − 1,5i.
2) Пусть z = x + iy, тогда z2 = (x2 − у2) + 2xyi, | z |= x 2 + y 2 и уравнение примет вид (х2 − у2) + 2xyi + 3 x 2 + y 2 =0 . Получим систему уравнений { x 2 − y 2 +3 x 2 + y 2 =0, 2xy=0. Решение ее приводит к совокупности двух систем
{ x=0, − y 2 +3 y 2 =0; { y=0, x 2 +3 x 2 =0.
Решением первой системы являются три значения у: 0, 3, −3. Вторая система решений не имеет. Следовательно, корни уравнения z1 = 0, z2 = 3i, z3 = −3i.
31. 1) Так как i4n + k = ik, то степени числа i можно вычислить следующим образом: i6 = i4 + 2 = i2 = −1, i20 = i4 · 5 = i0 = 1, i30 = −1, i36 = 1, i54 = −1. Сумма −1 + 1 − 1 + 1 − 1 равна −1.
2) Так как i13 = i4 · 3 + 1 = i, i23 = −i, i33 = i, то сумма дробей равна
2 i + 1 −i = 2(−i) i(−i) + 1(i) (−i)i =−2i+i=−i.
32. Так как для любых комплексных чисел z1 и z2 верно равенство | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2 (| z1 |2 + | z2 |2) (см. задачу 4, § 2), то 2 (с2 + с2) = 4с2.
33. 1) Применим формулу бинома Ньютона и возведение числа i в степень. Получим (1 + i)8 = 1 + 8i + 28i2 + 56i3 + 70i4 + 56i5 + 28i6 +
+ 8i7 + i8 = 1 + 8i − 28 − 56i + 70 − 56i − 28 − 8i + 1 = 16 − 112i.
34. Пусть а = m2 + n2, b = р2 + q2. Но m2 + n2 = (m + in) (m − in), р2 + q2 = (p + iq) (p − iq), следовательно, ab = (m + in) (p − iq) ×
× (m − in) (p + iq) = (mp + nq + i (np − mq)) (mp + nq − i (np − mq)) =
= (mp + nq)2 + (np − mq)2.
35. Пусть z = a + ib, z ≠ 1, тогда
c= 1−z 1+z = 1−a−ib 1+a+ib = (1−a−ib)(1+a−ib) (1+a) 2 + b 2 =
= 1− a 2 − b 2 +i(b(a−1)−b(a+1)) (1+a) 2 + b 2 .
(1)
Если с — чисто мнимое число, то 1 − a2 − b2 = 0, т. е. а2 + b2 = 1, следовательно, | z | = 1. Обратно, пусть | z | = 1, т. е. z = а + ib, где а2 + b2 = 1, то из (1) следует, что действительная часть числа c= 1−z 1+z равна 0, т. е. число с — чисто мнимое. |
