Российская школа имеет опыт обучения комплексным числам. В учебниках алгебры для старших классов, по которым учились старшеклассники до 1964 г. (учебники А. П. Киселева), от издания к изданию совершенствовалось изложение и расширялось содержание темы «Комплексные числа». Но в результате реформы математического образования семидесятых годов прошлого века комплексные числа перешли в программу факультативных курсов, а затем в программу математических классов. И только в учебниках (до 1991 г.) для 9—10 классов общеобразовательных школ Ш. А. Алимова и др., под научным руководством академика А. Н. Тихонова в восьмидесятых годах прошлого века вновь появляется глава «Комплексные числа».
Комплексные числа вводятся в средней школе либо как упорядоченная пара чисел, либо как выражение а + bi, где а и b — действительные числа, i — некоторый символ, такой, что i2 = −1. Затем формулируются правила, устанавливающие равенство комплексных чисел, вводятся числа, соответствующие привычным для школьников нулю и единице, устанавливаются правила арифметических действий над комплексными числами.
И в том и в другом случае возникают трудности, которые приходится преодолевать, с тем чтобы учащиеся осознанно воспринимали новое для них множество чисел. Например, когда комплексное число определяется как пара чисел, возникают трудности при введении алгебраической, а затем и тригонометрической формы его записи; в дальнейшем при выполнении арифметических действий. При введении комплексного числа другим способом сталкиваются с трудностями восприятия i как символа, такого, что i2 = −1, а затем как числа, называемого мнимой единицей.
На примере теории комплексных чисел старшеклассники впервые (а возможно и вообще единственный раз) знакомятся со строгим построением теории чисел.
В учебнике раскрывается главная причина появления комплексных чисел как стремление сделать алгебраические уравнения разрешимыми. Введение числа i как корня уравнения х2 + 1 = 0 (или как корня многочлена х2 + 1) присоединяет это число к полю действительных чисел и таким образом расширяет это поле до поля комплексных чисел. Говорят, что поле комплексных чисел является алгебраическим расширением поля действительных чисел.
В самом деле, определяя комплексное число как число вида а + bi, где а называют действительной частью числа, а b — мнимой, получаем, что это число при b = 0 становится действительным. Таким образом, можно говорить о том, что действительные числа — частный случай комплексных. Причем операции сложения и умножения комплексных чисел определяются по правилам сложения и умножения многочленов при условии, что i2 = −1. Для этих операций верны переместительное, сочетательное и распределительное свойства (т. е. эти операции коммутативны, ассоциативны и связаны соотношением дистрибутивности). Для операций сложения и вычитания существуют обратные, это соответственно вычитание и деление. Поэтому комплексные числа образуют поле.
Введение комплексно сопряженных (или просто сопряженных) чисел и модуля комплексного числа готовит к выполнению операции деления. При выполнении деления учащиеся должны осознать, что достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю. Полученное при этом в знаменателе действительное число есть не что иное, как квадрат модуля числа, стоящего в знаменателе.
Геометрическая интерпретация комплексного числа играет важную роль в физике и других областях науки и техники, где приходится оперировать величинами, которые можно представить в виде точки на плоскости или в виде вектора. В настоящее время комплексные числа (точнее теория функций комплексного переменного) нашли широкое применение для решения многих проблем теоретической физики, гидродинамики, аэромеханики, электротехники, кораблестроения, теории упругости, картографии и, конечно, самой математики. Ф. Клейн (1849—1925) еще в начале XX в. отмечал, что физика давно перешла к употреблению мнимых величин, в особенности в оптике, когда приходится иметь дело с уравнениями колебательных движений.
Осознание геометрического смысла модуля комплексного числа, модуля разности комплексных чисел позволяет решать и геометрические, и физические задачи. Четкое представление об изображении комплексного числа точкой (или вектором) на плоскости позволяет осознанно воспринять понятие аргумента и соответственно тригонометрическую интерпретацию комплексного числа.
Операции умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме выполняются достаточно легко. В отличие от них операции возведения в степень и извлечения корня натуральной степени не так просты для многих школьников и поэтому не являются обязательными для усвоения.
Тригонометрическая интерпретация комплексного числа позволяет решать алгебраические уравнения (в частности квадратные) в поле комплексных чисел и осознанно воспринимать основную теорему алгебры, которая формулируется в конце главы.
В результате изучения главы учащиеся должны уметь представлять комплексное число в алгебраической и тригонометрической форме, изображать число на комплексной плоскости, уметь выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления чисел, записанных в алгебраической форме, операции умножения и деления чисел, представленных в тригонометрической форме; знать ответы на вопросы 1—14 к главе VII, выполнять упражнения, такие, как 78—85, и задания из рубрики «Проверь себя!». |
