Цель изучения параграфа — научить учащихся решать квадратные уравнения с комплексными неизвестными и действительными коэффициентами.
Решение уравнения z2 = а, где a < 0, дается в учебнике аналогично тому, как это было сделано при решении уравнения при неотрицательных значениях а. Начинается с уравнения z2 = −1, что позволяет заменить −1 известным символом i2 и применить формулу разности квадратов. Уравнение z2 = а, где а < 0, учащиеся могут решить по аналогии самостоятельно, записав а = −1 · | a |. Тогда уравнение z2 = а можно записать в виде z2 = −1 · | а |. Далее z2 = i2 | a |, z2 − i2 | a | = 0, ( z−i | a | )( z+i | a | )=0 , z 1, 2 =±i | a | .
Необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что теперь формула z 1, 2 =± a верна для любых действительных значений а так же, как и равенство ( a ) 2 =a .
Решая полные квадратные уравнения с действительными коэффициентами, учащиеся сами придут к выводу о том, что комплексные корни уравнения являются сопряженными. Обучение применению теоремы Виета и разложению квадратного трехчлена на множители не должно становиться самоцелью: важно, чтобы учащиеся осознали, что комплексные корни квадратного уравнения обладают теми же свойствами, что и действительные.
Решение уравнения z2 = а, где а — комплексное число, не является обязательным. Однако учащимся полезно знать, что в этом случае (как и в задаче 5, § 5) решение опирается на равенство комплексных чисел. Прием записи равенства действительной и мнимой частей чисел, записанных в алгебраической форме, не требует нахождения аргумента комплексного числа, что не всегда легко сделать.
Упражнения 64 (1—4), 65 можно решить устно. Из упражнений 68—71 достаточно выполнить по два задания, а остальные оставить для уроков обобщения и систематизации знаний.
В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь решать квадратные уравнения при выполнении упражнений типа 64—67.
Решение упражнений
72. 1) Представим z1 в виде х + iy и найдем второй корень уравнения как число, ему сопряженное: z 1 = (−3−2i)(2+i) (2−i)(2+i) =− 4 5 − 7 5 i , откуда z 2 =− 4 5 + 7 5 i . Для составления квадратного уравнения (по теореме Виета) найдем p = − (z1 + z2) = 8 5 , q = z1z2 = 13 5 . Получим уравнение 5z2 + 8z + 13 = 0.
73. 1) Представим z в виде z = х + iy, где х и у — действительные числа. Получим (х + iy)2 = −5 + 12i, откуда по определению равенства комплексных чисел имеем { x 2 − y 2 =−5, 2xy=12. x= 6 y ; откуда 36 y 2 − y 2 =−5 ; полученное уравнение приведем к целому виду (у ≠ 0) и решим биквадратное уравнение y4 − 5y2 − 36 = 0.
y2 = t, t2 − 5t − 36 = 0, t1 = 9, t2 = −4. Тогда y2 = 9, y1, 2 = ±3, x1, 2 = ±2. Если t = −4, то y2 = −4, второе уравнение действительных корней не имеет. z1, 2 = ± (2 + 3i) — корни уравнения.
73. 5) Пусть z3 = t, тогда уравнение примет вид t2 − 7t − 8 = 0, откуда t1 = 8, t2 = −1. Следовательно, z3 = 8, z3 = −1. Разложив на множители правые части в каждом из уравнений, получаем z3 − 8 = 0, (z − 2) (z2 + z + 4) = 0, z3 + 1 = 0, (z + 1) (z2 − z + 1) = 0. Приравняем нулю каждый из множителей. Из первого уравнения получим z1 = 2, z 2, 3 =−1±i 3 , из второго уравнения получим z4 = −1, z 5, 6 = 1±i 3 2 .
|
