Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
26.10.2014, 14:51
Цель изучения параграфа — научить учащихся изображать на координатной плоскости множество решений линейных неравенств и систем линейных неравенств с двумя переменными. Учащиеся умеют строить график линейной функции и знают, что графиком является прямая. При изучении систем уравнений первой степени с двумя неизвестными школьники знакомились с линейным уравнением Ах + By + С = 0, которое является уравнением прямой. Простыми преобразованиями показывается, что это уравнение можно представить в виде знакомой учащимся линейной функции y=− A B x− C B при В ≠ 0. Если В = 0, то получаем уравнение x=− C A , которое, как известно учащимся, является уравнением прямой, параллельной оси Оу. Когда предлагается записать уравнение прямой, проходящей через две точки с заданными координатами, учащиеся могут применять известный им метод, подставляя в уравнение у = kx + b значения х и у и решая систему уравнений. Затем записать уравнение в виде Ax + By + C = 0. Учащимся профильных классов, прежде чем выполнять упражнение 1, полезно решить задачу.
Даны точки А (х1; у1) и В (х2; у2). Записать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Решение. Пусть С (х; у) — некоторая точка прямой АВ (рис. 46). Рассмотрим подобные треугольники ACD и ABE. Следовательно, равны отношения катетов AD AE = CD BE . Но длина катета AD равна разности длин отрезков Ох и Ох1, т. е. AD = х − х1.
Аналогично АЕ = х2 − х1, CD = у − у1, BE = y2 − y1. Уравнение прямой можно записать в виде x− x 1 x 2 − x 1 = y− y 1 y 2 − y 1 .
Рекомендуется напомнить учащимся, что они знакомы с решением систем линейных уравнений, повторить способы подстановки и сложения, решить три системы графически. Например, такие: { 2x−y−5=0, x−2y−1=0; { 3x+2y−1=0, 6x+4y+3=0; { 0,5x+y−7=0, x+2y−14=0. На этих же примерах можно повторить, как по отношению коэффициентов можно выяснить наличие или отсутствие решений. На примере задачи 1 и упражнения 2 все учащиеся знакомятся с решением линейных неравенств с двумя переменными. Для учащихся общеобразовательных классов достаточно, чтобы они на практике могли указать полуплоскость, соответствующую множеству решений неравенства. Полезно выполнять и обратную задачу: по данному уравнению прямой и закрашенной на рисунке области, которую эта прямая ограничивает, записать неравенство, множеством решений которого являются точки указанной полуплоскости. Такие задачи могут быть сформулированы с использованием рисунков 115, 118—122 учебника и указанием на них разных полуплоскостей, которые представляют собой решение какого-то неравенства. Выявляя, какое именно неравенство соответствует данной части плоскости, учащиеся одновременно учатся и решению прямой задачи. Желательно, чтобы учащиеся профильных классов уверенно справлялись с задачами, аналогичными задаче 1, так как это послужит хорошей базой для осознанного восприятия решения задачи 3. Решение систем линейных неравенств для учащихся общеобразовательных классов ограничивается задачей 2 и упражнениями 3 и 4. При решении упражнения 4 важно аккуратно построить графики (рис. 47) и во внутренней области увидеть точку с натуральными координатами.
4. 1) Строим график уравнения х − у − 2 = 0. Решением неравенства х − у − 2 < 0 является множество точек полуплоскости, расположенной выше прямой х − у − 2 = 0. Решением неравенства x + 2у − 9 > 0 являются пары чисел, расположенные выше прямой х + 2у − 9 = 0. Наконец, точки, для которых справедливо неравенство х − 2у + 3 > 0, расположены ниже прямой х − 2у + 3 = 0. Прямые x − y − 2 = 0 и х + 2у − 9 = 0 пересекаются в точке ( 4 1 3 ;2 1 3 ) , прямые х − y − 2 = 0 и х − 2у + 3 = 0 пересекаются в точке (7; 5), для прямых х − 2у + 3 = 0 и х + 2у − 9 = 0 точкой пересечения является точка (3; 3). Точки легко определить, решая соответствующие системы уравнений. Из всех пар натуральных чисел, удовлетворяющих условиям 3 < x < 7, 2 1 3 <y<5 , только пара (4; 3) входит в множество решений каждого неравенства системы.
Прежде чем переходить к решению задачи 3, с учащимися профильных классов необходимо поработать над рисунком 120 учебника. Учащиеся должны осознать, что решением неравенства, левая часть которого представляет собой произведение уравнений двух прямых, является объединение пары вертикальных углов. Для этого прежде всего школьники должны понять, что решением уравнения (А1х + В1у + С1) (А2х + В2у + С2) = 0 является объединение двух прямых l1 и l2. Действительно, произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Далее, вспоминая решение задачи 1, приходим к выводу, что так как каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости, координаты точек которых удовлетворяют либо неравенству, например, А1х + В1у + С1 < 0, либо неравенству А1х + В1у + С1 > 0 (для обеих прямых), то решение исходного неравенства — пары углов, координаты точек которых обращают произведение (А1х + В1у + С1) (А2х + В2у + С2) либо в положительное число, либо в отрицательное. Очень важной для осознанного восприятия материала следующего параграфа является задача 5. Учащиеся должны не только построить каждую прямую по ее уравнению, но и точно определить точки их пересечения, что важно для выявления множества точек, являющихся решением системы неравенств. В профильных классах на третьем уроке можно решить самостоятельную работу. 1. Изобразить на плоскости множество точек (х; у), координаты которых удовлетворяют системе неравенств { x≥0, y≥0, x−y+2≥0, x+y−4≤2 [ { x<0, y>0, y−x−5<0, 2y+x−4<0 ] . 2. Изобразить на координатной плоскости множество точек (x; у), координаты которых удовлетворяют неравенству
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь выполнять упражнения типа 2 и 3. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь решать упражнения типа 4 и 5.
Решение упражнений
8. 1) Сложим неравенства одинакового смысла (первое и третье), прежде умножив третье неравенство на 3. Решив систему { 9x−3y>3, −5x+3y>16, получим х > 4,75. Умножим второе неравенство на −1 и сложим с первым неравенством того же смысла, получим { 3y−5x>16, −3y+x>−44, откуда х < 7. Таким образом, число x может быть либо 5, либо 6. Подставим х = 5 в первое, а затем в третье неравенство. Получим неравенство 13 2 3 <y<14 , не имеющее целых решений. При х = 6 в результате подстановки в первое неравенство получим y>15 1 3 , при подстановке в третье неравенство получим у < 17. Целое значение одно: у = 16. Ответ. x = 6, у = 16.
